Урок 16. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигурОтношением отрезков AB и CD называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если их отношения равны.
AB/(A1B1) = CD/(C1D1)
Выясним, пропорциональны ли отрезки на рисунке.
Составим отношения отрезков, учитывая их длины:
AB/AC = 4/12 = 1/3,
AD/DE = 3/9 = 1/3,
DB/BE = 1/5,
Получим, что отрезки AB и AC пропорциональны отрезкам AD и DE. А отрезки AB и AC не пропорциональны отрезкам DB и BE.
Интересное и важное свойство биссектрисы угла треугольника связано с пропорциональностью отрезков.
Пусть дан треугольник АВС, в нем проведена биссектриса АD, докажем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Дано: ∆ ABC, AD – биссектриса
Доказать: BD/AB = DC/AC
Для доказательства воспользуемся следствиями из формулы площади треугольника:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
У треугольников ADC и ABD общая высота AH, поэтому
SABD/SADC = BD/DC
2) У треугольников ADC и ABD
∠CAD = ∠BAD, поэтому
SABD/SADC = (AB ∙ AD)/(AC ∙ AD) = AB/AC
3) BD/DC = AB/AC
Или
BD/AB = DC/AC
В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными.
Рассмотрим два треугольника, углы которых равны.
∆ ABC и ∆A1B1C1
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1
Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.
∆ ABC ~ ∆A1B1C1
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1
и AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = k
Выясним, как относятся периметры и площади подобных треугольников.
Рассмотрим два подобных треугольника.
∆ ABC ~ ∆A1B1C1
AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = k, тогда
AB = kA1B1
BC = kB1C1
AC = kA1C1
Составим отношение периметров этих треугольников и упростим его
PABC/PA1B1C1 = (AB + BC + AC)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = (kA1B1 + k B1C1 + kA1C1)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = k
Вывод: отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Теперь рассмотрим отношение площадей подобных треугольников АВС и А1В1С1. ∆ ABC ~ ∆A1B1C1, тогда ∠A = ∠A1, следовательно, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, получим
SABC/SA1B1C1 = (AB ∙ AC)/(A1B1 ∙ A1C1) = AB/(A1B1) ∙ AC/(A1C1)= k ∙ k = k2
Вывод: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.