Конспект
Когда обе части выражения представляют из себя рациональные выражения, и хотя бы одно является дробным, то такие уравнения называют дробными рациональными.
На простом примере вспомним алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
В первую очередь необходимо привести все дроби уравнения к общему знаменателю, в нашем случае общий знаменатель равен 6x.
Первую дробь домножаем на 2, а вторую на x.
Стоит обратить внимание, что переменная x не может принимать значение ноль, так как в противном случае знаменатель первой дроби будет равен нулю.
Далее записываем обе дроби под одну дробную черту и приводим подобные в числителе.
После этого необходимо вспомнить, что дробь равна нулю только в ситуации, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
x2 + 4x – 5 = 0; 6x ≠ 0.
Решив получившееся квадратное уравнение, мы получаем корни 1 и –5, удовлетворяющие условию x ≠ 0.
Записываем ответ.
Рассмотрим более сложные примеры дробных рациональных уравнений.
Начнём с того, что перенесём все члены уравнения в левую часть.
Далее вынесем знак минус из знаменателя второй дроби.
Теперь необходимо домножить x на знаменатель (x – 2) и записать всю левую часть уравнения под одну дробную черту.
Стоит обратить внимание на то, что x ≠ 2, иначе знаменатель дроби обратиться в нуль.
Как мы уже вспоминали, знаменатель не должен быть равен нулю, а числитель, наоборот равен нулю, так как сама дробь равна нулю.
Из этого мы получаем целое уравнение: 2x2 – 3x – 2 – x(x – 2) = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные, уравнение принимает стандартный вид квадратного уравнения.
x2 – x – 2 = 0
Решив данное уравнение, получаем два корня: x1 = 2 и x2 = –1.
Осталось проверить, удовлетворяют ли они ограничениям переменной x.
Корень x1 = 2 не удовлетворяет данному условию, а значит, не является корнем уравнения.
Значит, уравнение имеет один корень x = –1, его и запишем в ответе.