Урок 17. Решение треугольников. Измерительные работы

Конспект
Элементами треугольника являются его стороны и углы.

Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.
Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: a, b, ∠C
Найти: с, ∠А, ∠B
Зная две стороны и угол между ними, по теореме косинусов можно найти третью сторону треугольника.
Решение.
1) c2 = a2 + b2 — 2ab cosC
с = √(a2 + b2 — 2ab cosC)
Запишем теорему косинуса для одной из известных сторон и выразим из этой формулы косинус противолежащего угла.
2) a2 = b2 + c2 — 2bc cosA
cosA = (b2 + c2 — a2)/(2bc)
∠А находим по таблице или с помощью калькулятора.
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вычислить третий угол.
3) ∠В = 180°- ∠А — ∠С.
Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Дано: с, ∠А, ∠B
Найти: a, b, ∠C
Решение.
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, вычислим третий угол.
1) ∠C = 180° — ∠А — ∠В.
Запишем теорему синусов данного треугольника и выразим неизвестные стороны треугольника.
2) b/sinB = c/sinC;
a/sinA = c/sinC
b = (c ∙ sinB)/sinC;
a = (c ∙ sinA)/sinC
Решение треугольника по трём сторонам.

Дано: a, b, с
Найти: ∠А, ∠B, ∠C
Решение.
Чтобы найти неизвестный угол треугольника, воспользуемся теоремой косинусов.
Вычислив косинус угла, сам угол находим по таблице или с помощью калькулятора.
1) a2 = b2 + c2 — 2bc cosA
cosA = (b2 + c2 — a2)/(2bc)
∠А находим по таблице или с помощью калькулятора.
Так же, с помощью теоремы косинусов, найдём величину другого угла.
2) b2 = a2 + c2 — 2ac cosB
cosB = (a2 + c2 — b2)/(2ac)
∠B находим по таблице или с помощью калькулятора.
Для вычисления третьего угла воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника.
3) ∠А + ∠B + ∠C = 180°
∠C = 180° — ∠А — ∠B
С помощью тригонометрических формул можно определить высоту предмета, например, дерева.
Для этого отметим точку В на определённом расстоянии от точки Н, которая является основанием дерева, и измерим угол АВН. Из прямоугольного треугольника АВН, найдём высоту дерева.

AH = a tgα
Если основание дерева недоступно, то на прямой, проходящей через основание дерева – точку Н, отметим точки В и С на определённом расстоянии друг от друга. Измерим углы АВН и АСН. Решим треугольник АВС: найдём величину угла А и длину АВ.

В ∆ABC: ∠A = α — β,
AB/sin⁡C = BC/sin⁡A, тогда AB/sin⁡β = a/sin⁡(α — β).
AB = (a sin⁡β)/sin⁡(α — β).
Из прямоугольного треугольника АВН найдём высоту дерева – длину отрезка АН.
В ∆ABH : AH = AB ∙ sin⁡α.
Следовательно, AH = (a sin⁡β sin⁡α)/sin(α — β).
Предположим, что нам нужно найти расстояние от точки А до недоступного объекта С.
Выберем точку В и измерим длину отрезка АВ.
Измерим углы А и В, это можно сделать с помощью астролябии.

Зная сторону АВ треугольника АВС и значение двух углов, прилежащих к этой стороне, можно найти длину отрезка АС.
1) ∠C = 180° — α — β
sin⁡C = sin(180° — α — β) = sin⁡(α + β)
2) AC/sin⁡B = AB/sin⁡C;
AC = (AB sin⁡B)/sin⁡C = (c sin⁡β)/sin⁡(α + β)