Урок 22. Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаРассмотрим прямоугольный треугольник АВС
Размеры катетов и гипотенузы следующие
AC = 12
BC = 9
AB = 15
Разделим длину катета АС на длину гипотенузы АВ
AC/AB = 12/15 = 4/5 = 0,8
Возьмем точку С1 на отрезке АС, проведем к нему перпендикуляр С1В1
Измерим отрезки АС1 и АВ1. AC1 = 6; AB1 = 7,5.
(AC1)/(AB1) = 6/7,5 = 0,8
Возьмем точку С2 на продолжении отрезка АС и проведем перпендикуляр С2В2.
Измерим отрезки АС2 и АВ2. AC2 = 15; AB2 = 18,75.
(AC2)/(AB2) = 15/18,75 = 0,8
Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС. Катет АС1 является прилежащим к углу А в треугольнике АС1В1. Катет АС2 также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС2В2. Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трех случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А.
AC/AB = (AC1)/(AB1) = (AC2)/(AB2) = 0,8
Определение: Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника
cosA = AC/AB
Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом острого угла прямоугольного треугольника
sinA = BC/AB
Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
tgA = BC/AC
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс.
tgA = sinA/cosA
Докажем утверждение:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, а также косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Пусть угол А равен углу А1 и углы С и С1 прямые.
Тогда треугольники АВС и А1С1В1 подобны по двум углам. Поэтому равны отношения
AB/(A1B1) = AC/(A1C1) = BC/(B1C1) , следовательно BC/AB = (B1C1)/(A1B1), поэтому sinA = sinA1
Из равенства отношений
AC/(AB) = (A1C1)/(A1B1), следовательно cosA = cosA1
Из равенства отношений
BC/AC = (B1C1)/(A1C1), следовательно tgA = tgA1
В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора — BC2 + AC2 = AB2.
Разделим почленно обе части равенства на АВ2
BC2/AB2 + AC2/AB2 = AB2/AB2
Используя определение синуса и косинуса угла А, получим
sin2A + cos2A = 1
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
Из основного тригонометрического тождества зная косинус угла, легко найти его синус и наоборот
Пример: cosA = 0,8
Найдите sinA
Решение:
По основному тригонометрическому тождеству получим
sin2A + cos2A = 1,
sin2A + 0,82 = 1,
sin2A = 1 − 0,82
sin2А = 0,36
sinA = 0,6
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.