Урок 22. Обобщение и систематизация знаний по теме «Параллельные прямые»Конспект урока
Геометрия
7 класс
Урок № 22
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Параллельные прямые»
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Формулировка определения параллельных прямых.
- Названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей.
- Признаки параллельности прямых.
- Решение задач на вычисление, доказательство и построение, связанные с параллельными прямыми.
Тезаурус:
Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Человек… родился быть господином, повелителем, царем природы, но мудрость, с которой он должен править…, не дана ему от рождения: она приобретается учением», ‑ сказал Николай Иванович Лобачевский.
Последуем совету великого ученого, будем учиться применять полученные знания о параллельных прямых.
Для начала вспомним, какие прямые называются параллельными.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельные прямые обозначаются: a║b.
Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но параллельные отрезки и лучи.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
AB║CD
Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
h║k
При пересечении прямых а и b, в том числе и параллельных, секущей c образуются углы, некоторые пары из которых имеют свои названия.
3 и 5, 4 и 6 – накрест лежащие углы.
4 и 5, 3 и 6 – односторонние углы.
1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 – соответственные углы.
Далее рассмотрим признаки параллельности двух прямых и теоремы, обратные к ним.
Вот один из признаков параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Например, ∠4 = ∠3
Обратная теорема.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Рассмотрим следствие.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых и обратную ему теорему.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Например:
∠5 = ∠3
Обратная теорема.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых и обратную ему теорему.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна ста восьмидесяти градусам, то прямые параллельны.
Обратная теорема звучит так. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Например:
∠1 + ∠3 = 180°
Решим задачу, связанную с параллельными прямыми.
На рисунке изображены параллельные прямые ВС и AD, ВЕ – биссектриса угла АВС. Остальные данные представлены на рисунке. По рисунку найдём неизвестный угол 1.
Дано:
ВС ║ АD
ВЕ – биссектриса угла АВС
∠ВЕА = 32°
Найти: ∠1 = ?
Решение:
ВС ║ АD → ∠ АВС +∠ ВАЕ = 180° (по свойству параллельных прямых, как односторонние).
∠ВЕА = ∠СВЕ = 32° (по свойству параллельных прямых, как накрест лежащие).
Т.к. ВЕ – биссектриса угла АВС →∠ЕВА = ∠СВЕ
∠АВС = ∠ЕВА + ∠СВЕ = 32° + 32° = 64°
→∠АВС + ∠ВАЕ = 180°
→64° + ∠ВАЕ = 180°
∠ВАЕ = 180°– 64° = 116°. Это и есть угол 1.
Ответ: ∠1 = 116°.
Материал для углублённого изучения темы.
Использование параллельных прямых в жизни и технике.
С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, в том числе и в технике.
Если поднять на улице глаза вверх, то можно увидеть параллельно висящие электрические провода.
На железной дороге рельсы тоже расположены параллельно друг к другу.
При строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.
Параллельные прямые можно увидеть в бассейне: именно так натянута разметка дорожек в бассейне.
Разметка на дороге, в том числе и пешеходный переход, тоже не обходится без параллельных отрезков.
Таким образом, геометрия играет огромную роль в нашей жизни.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. На рисунке через параллельные прямые m и n, проведена секущая k, угол 1 составляет 50 % угла 2. Найдите угол 1.
Решение:
По условию m ║ n ∠1 = ∠3 (как соответственные, по свойству параллельных прямых), при этом ∠3 и ∠2 смежные →∠3 + ∠2 = 180°.
Пусть градусная мера угла 2 это х градусов, тогда градусная мера угла 3 равного углу 1 будет 0,5х градусов →х + 0,5х = 180°
1,5х = 180°
х = 180° : 1,5
х = 120° (это градусная мера угла 2)
∠1 = 0,5·120 = 60°.
Ответ: 60°.
2 Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF. По данным рисунка найдите градусную меру неизвестного угла х.
Решение: По условию а║b →∠KFE = ∠PEM = 52° (по теореме о параллельных прямых о соответственных углах).
При этом ∠PEM и ∠х — смежные →∠PEM + ∠х = 180°
52° + ∠х = 180°
∠х = 180° – 52° = 128°
Ответ: ∠х = 128°.