Урок 22. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Обозначим S площадь правильного n-угольника, an его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = 1/2 P r
Выполним следующее построение
Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам. Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: S = 1/2 anr, где an – сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.
Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:
S = n ∙ 1/2 anr, где n – количество треугольников.
После преобразований получим формулу: S = 1/2 (n ∙ an)r
Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом: S = 1/2 Pr
Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник А1Н1О. Угол А1 рассматриваемого треугольника будет равен половине угла αn многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А1О является так же биссектрисой угла αn многоугольника.
По формуле вычисления угла α правильного многоугольника αn = (n — 2)/n ∙ 180° применяя простые преобразования получим равенство для угла А1 рассматриваемого треугольника: ∠A1 = αn/2 = (n — 2)/2n ∙ 180° = 90° — (180°)/n
Полагая, что сторона правильного многоугольника an будет равна an = 2A1H1 и, учитывая, что треугольник А1Н1О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Получим следующее равенство: an = 2A1H1 = 2 Rcos⁡(90° — (180°)/n) = 2 R sin (180°)/n.
Итак, сторона правильного многоугольника an = ⁡2 R sin (180°)/n
радиус вписанной окружности r = R cos (180°)/n
Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Треугольник: a3 = 2 R sin⁡(180°)/3 = 2 R sin60° = 2 R ∙ √3/2 = R√3
Квадрат: a4 = 2 R sin⁡(180°)/4 = 2 R sin45° = 2 R∙√2/2 = R√2
Шестиугольник: a6 = 2 R sin⁡(180°)/6 = 2 R sin30° = 2 R ∙ 1/2 = R