Урок 23. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

Рассмотрим равносторонний треугольник AВС, у которого сторона равна a

AB = BC = AC = a
Опустим высоту BD на основание треугольника, она же будет являться медианой и биссектрисой.

∆ABD — прямоугольный, ∠BAD = 60°, ∠ABD = 30°, AD = 1/2 a, AB = a
По теореме Пифагора найдем сторону BD
BD2 = AB2 − AD2 = a2 − 1/4 a2 = 3/4 a2, BD = √(3)/2 a
Запишем, чему равен синус, косинус и тангенс угла в 60°
сos 60° = cos∠BAD = AD/AB = ( 1/2 a)/a = 1/2
sin 60° = sin∠BAD = BD/AB = (√(3)/2 a )/a = √(3)/2
tg 60° = tg∠BAD = BD/AD =(√(3 )/2 a)/(1/2 a) = √3
В прямоугольном треугольнике ABD угол ABD равен 30°, стороны известны.

∆ABD — прямоугольный, ∠BAD = 60°, ∠ABD = 30°, AD = 1/2 a, AB = a, BD = √(3)/2 a
Запишем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 30°
cos 30° = cos∠ABD = BD/AB = (√(3)/2 a)/a = √3/2
sin 30° = sin∠ABD = AD/AB = (1/2 a)/a = 1/2
tg 30° = tg∠ABD = AD/BD = (1/2 a)/(√(3)/2 a) = 1/√3 = √3/3
Чтобы найти значения косинуса, синуса и тангенса угла, равного 45°, рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными а

∆ABC — прямоугольный, ∠ABC = ∠BAC = 45°, AC = BC = a
По теореме Пифагора найдем сторону АВ
AB2 = AC2 + BC2,
AB2 = a2 + a2,
AB2 = 2a2,
AB = a√2
Найдем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 45°
cos 45° = cos∠ABC = BC/AB = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2
sin 45° = sin∠ABC = AC/AB = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2
tg 45° = tg∠ABC = AC/BC = (a)/a = 1
Таким образом, можно заполнить таблицу значений синусов, косинусов и тангенсов для углов тридцать, шестьдесят и сорок пять градусов

Таблицу значений синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45° и 60° нужно выучить.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.