Урок 24. Площадь круга. Площадь кругового сектора

Конспект
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг радиуса R с центром О содержит саму точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О, на расстоянии, не большем чем радиус R.
Рассмотрим вписанный в окружность правильный многоугольник.
Площадь данного круга будет больше площади многоугольника, так как он полностью находится в этом круге.
Учтем также, что площадь круга, вписанного в данный многоугольник, будет меньше площади самого многоугольника, так как круг полностью находится в самом многоугольнике.
Следовательно, справедливо следующее неравенство: S’n<Sn<S (1)
Радиус вписанной в многоугольник окружности рассчитывается по формуле: rn = R cos (180°)/n
Предположим, что число сторон многоугольника неограниченно растёт n→∞, тогда справедливо будет выражение: cos (180°)/n → 1
Таким образом, можно сделать вывод, что радиус вписанной окружности стремится к радиусу описанной окружности rn → R.
Вывод. При неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника вписанная в него окружность стремится к описанной окружности.
Поэтому и площадь вписанного круга будет стремиться к площади описанного круга: S‘n → S при n → ∞.
Для вычисления площади круга радиусом R применим формулу площади правильного n-угольника: Sn = 1/2 Pn rn, где Pn – периметр n-угольника A1 A2 An.
Принимая во внимание, что радиус вписанной окружности стремится к радиусу описанной окружности, rn → R, периметр n-угольника также стремится к длине окружности, Pn → 2πR, а площадь вписанной окружности стремится к площади описанной окружности Sn → S при n → ∞ запишем формулу для вычисления площади круга с радиусом R:
S = 1/2 2πR ∙ R = πR2,
S = πR2 – площадь круга радиусом R.
Круговой сектор.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы с центром круга.
Дуга, ограничивающая сектор, называется дугой сектора.
Выведем формулу для вычисления площади закрашенного сектора круга радиуса R и ограниченного дугой с градусной мерой α.
Площадь всего круга: S = πR2.
Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1° равна πR2/360
Площадь S кругового сектора с произвольным углом α будет равна: S = πR2/360 ∙ α.
Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги
При значении градуса дуги менее, чем 180°, площадь сегмента можно вычислить путем вычитания из площади сектора круга площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента.