Урок 28. Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Наложения и движения

Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами отображения плоскости на себя являются осевая и центральная симметрия.
Возьмем произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М1 относительно прямой а.

Так любой точке плоскости может быть поставлена в соответствие ей симметричная относительно прямой а. При этом любая точка М1 оказывается сопоставленной некоторой точке М.
Аналогично при центральной симметрии.

Введем понятие «движение плоскости». Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние. Поясним, что это значит. Пусть М и N какие-либо точки плоскости, а M1 и N1 симметричные им относительно прямой а.

Из точек N и N1 проведём перпендикуляры РN и РN1 к прямой МM1. Прямоугольные треугольники МРN и М1Р1N1 равны по двум катетам: МР = М1Р1 и РN = Р1N1. Поэтому гипотенузы МN и M1N1 равны. Значит расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными точками M1 и N1. Аналогично при центральной симметрии.

Рассмотрим свойства движения:
При движении отрезок отображается на отрезок.
Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Также любая геометрическая фигура (луч, угол, многоугольник и другие) отображается на равную ей фигуру.

Не всякое отображение плоскости на себя сохраняет расстояние. Пример гомотетия, треугольники АВС и А1В1С1 не равны.

В геометрии равенство фигур устанавливается с помощью наложения. Говорят, что фигура Ф1 равна фигуре Ф2, если их можно совместить наложением. При наложении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Таким образом, наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. Справедлива следующая теорема: Любое движение является наложением.