Урок 29. Свойство биссектрисы углаКонспект
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам.
AD — биссектриса угла BCA
Теорема о биссектрисе угла
Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Дано: ∠BAC, AD – биссектриса, M ∈ AD, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB.
Доказать: MK = MN.
Доказательство:
∆AMN = ∆AMK
AM – общая гипотенуза,
∠KAM = ∠NAM из условия.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, MN = MK.
Что и требовалось доказать.
Теорема: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Дано: ∠BAC, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB, MK = MN
Доказать: AM – биссектриса
Доказательство:
∆AMN = ∆AMK (по гипотенузе). Следовательно, ∠KAM = ∠NAM, AM – биссектриса ∠BAC.
Что и требовалось доказать
Свойство биссектрисы имеет следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано: AA1, BB1, CC1 – биссектрисы ∆ABC
Доказать: AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O
Проведем перпендикуляры из точки М к сторонам треугольника MK ⊥ AC, MP ⊥ BC, MN ⊥ AB. Из того, что ВВ1 и СС1 биссектрисы по доказанному ранее, следует равенство отрезков MK = MN, MK = MP. Поэтому равны отрезки MN = MP.
Получается, что точка М равноудалена от сторон угла АВС, значит лежит на его биссектрисе. Таким образом, все биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке М.
Что и требовалось доказать.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.