Урок 31. Последовательности

Рассмотрим последовательность. -19,2; -17,4; -15,6; -13,8;…
Заметим, что каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением числа 1,8.
Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 5, а каждый следующий получается из предыдущего прибавлением числа -2
5; 3; 1; -1; -3;…
Мы получили две арифметические прогрессии.
Рассмотрим ещё одну последовательность. Выпишем в порядке убывания дроби с числителем один и чётными знаменателями.
1/2; 1/4; 1/6; 1/8; …
Для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему число в этой последовательности, оно равно 1/2n.
На сотом месте стоит число 1/200.
Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности.
Их обозначают буквами с индексами, указывающими номер члена, а первое — первый член последовательности, а второе — второй член последовательности, а пятое — пятый член последовательности, а энное – n-й член последовательности, то есть член последовательности с номером n.
Мы рассмотрели последовательности, в которых бесконечно много членов. Они называются бесконечными.
Выпишем все двузначные числа, делящиеся на 20. Принято говорить, что они кратны 20-ти. Таких чисел всего 4, они образуют конечную последовательность.
Чтобы найти последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Последовательность нечётных натуральных чисел задаётся формулой а энное равно два эн плюс 1.
Последовательность дробей задаётся формулой бэ энное равно единице, делённой на два эн.
Эти формулы позволяют найти любой член последовательности по его номеру и называются формулами n-го члена
Найдём первые члены последовательности , заданной формулой n-го члена це энное равно минус единице в степени эн, делённой на 3.
Найдём первые члены последовательности , заданной формулой n-го члена бэ энное равно семи.
Ещё один способ задания последовательности – рекуррентный. Задаётся первый член и формула, выражающая каждый следующий член через предыдущий. Можно задать первые несколько членов и формулу, задающую каждый член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие. Такая формула называется рекуррентной – от латинского слова recurro, что значит возвращаться
Зададим первые два члена последовательности и рекуррентную формулу.
Найдём несколько членов последовательности.
Эта последовательность описана в трудах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи. Члены последовательности называют числами Фибоначчи.