Урок 32. Вписанная окружностьКонспект
Рассмотрим окружность с центром в точке O и некоторым радиусом
Проведем к этой окружности несколько касательных, которые попарно пересекаются.
Соединим точки пересечения касательных отрезками.
Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник называется описанным около этой окружности.
Окружность с центром в точке O вписана в многоугольник ABCDEF.
Многоугольник ABCDEF описан около окружности с центром O.
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Рассмотрите рисунки.
Окружность с центром O не является вписанной в четырехугольник ABCD, т.к. CD не касается этой окружности.
Окружность с центром O является вписанной в треугольник ABC, т.к. все стороны треугольника касаются этой окружности.
Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность.
Дано: ∆ABC
Доказать: существует окружность, вписанная в ∆ABC
Построим точку пересечения биссектрис треугольника, обозначим ее O.
Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника. Основания перпендикуляров обозначим точками K, M, N.
Точка О принадлежит биссектрисам углов, поэтому она равноудалена от AB, BC и AC, значит
OK = OM = ON.
Проведем окружность с центром в точке О и радиусом OK. Она будет проходить через точки K, M и N.
Стороны треугольника АВС касаются этой окружности, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OM и ON.
Поэтому окружность с центром О и радиусом OK является вписанной в треугольник АВС.
Теорема доказана.
Показан способ построения окружности, вписанной в треугольник. А сколько таких окружностей можно вписать в треугольник?
Пусть в треугольник можно вписать две окружности.
Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника, и значит, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. А радиус такой окружности равен расстоянию от центра до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
Вывод: в треугольник можно вписать только одну окружность.
Рассмотрим четырехугольник, в который окружность вписать можно.
Напомним, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Поэтому BK = BP, CK = CM, DM = DN, AN = AP.
Составим сумму отрезков
АВ + CD = AP + PB + DM + MC
BC + AD = BK + KC + AN + ND
Из трёх равенств следует, что АВ + CD = ВC + AD.
Свойство доказано. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.