Урок 32. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Конспект урока

Алгебра и математического начала анализа, 10 класс

Урок №32. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• решение несложных уравнений с использованием зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
• Упрощение тригонометрических выражений на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Глоссарий по теме

Тождество — это равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол .

Синусом угла является ордината точки В(х;у). Косинусом угла является её абсцисса.

Рисунок 1 – точка В на тригонометрической окружности

Образовался прямоугольный треугольник ОВС. По теореме Пифагора

Катет ОС — это абсцисса точки В или , катет ВС- её ордината, или а гипотенуза ОВ — радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:

(1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, чо зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

(2)

(3)

В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти , если , .

Выясним знак косинуса. Из условия опрелеляем, что угол в 4 четверти,

Подставим значение в формулу (3), получаем:

Ответ: .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и

Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

. Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство: .

;

;

1=1, верно.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

Пример. Известно, что , найти .

Возведём в квадрат левую и правую части равенста:

; учтём, что ,

;

;

.

А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?

По определению : , .

Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:

.

, (4)

и ,

причём угол и

Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.

Если , то .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство

и обе части возведём в квадрат:. Используя формулы (2) и (3), получаем:

,

, (5)

где

По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример . Известно, что ; . Найти , и .

Угол в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;
2. ;
3. .

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел , , и , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

Определение

Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Рассмотрим некоторые приемы

1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Пример. Доказать тождество:

Преобразуем левую часть:

Левая часть тождества равна правой. Доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти , если , .

Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит . Используем формулу (2):

Ответ: .

Пример 2.

Найти , если , .

Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.

.

Ответ: .

Пример 3.

Доказать тождество:

Преобразуем правую часть:

Правая часть тождества равна левой. Доказано.