Урок 39. Свойства делимостиКонспект урока
Математика
5 класс
Урок №39
Свойства делимости
Перечень рассматриваемых вопросов:
— свойства делимости;
— чётные и нечётные числа;
— кратность чисел.
Глоссарий по теме:
Деление – действие, обратное умножению.
Кратное натурального числа – это число, которое делится на данное натуральное число без остатка
Умножение – это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. //
И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы будем изучать свойства делимости, так как деление – это одно из основных арифметических действий в математике.
Для начала вспомним, что такое деление. Это действие, обратное умножению. Т. е. говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует число с, при умножении которого на число b получается число а. При дальнейших рассуждениях слова «натуральные», «нацело» будем опускать для краткости.
Прежде чем рассмотреть свойства делимости, введём определение кратного числа.
Кратное натурального числа – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Если а делится на b, то говорят ещё, что а кратно b, при этом a ≥ b.
Например, число36 кратно числу 12, т. к. 36 : 12 = 3.
Теперь рассмотрим свойства делимости.
Первое свойство. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это же число.
Например, двадцать пять делится на пять, значит и произведение чисел двадцать пять и двенадцать делится на пять. Т.к. число двадцать пять можно разложить на множители пять и пять. И наш делитель пять входит в это произведение. Следовательно
это произведение делится на заданное число.
25 · 12 = (5 · 5) · 12 = 5 · (5 · 12)
Рассмотрим второе свойство. Оно заключается в том, что если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.
Например, 168 делится на 56, т. к. 168 – это результат произведения 56 и 3.
56 делится на 8, т. к. 56 – это результат произведения 7 и 8.
Следовательно, 168 делится на 8, т. к. 168 – это результат произведения трёх чисел – 8, 3 и 7. Если поделить 168 на 8, получится 21.
168 делится на 8, т. к. 168 : 8 = 8 · (3 · 7) : 8 = 21.
Рассмотрим третье свойство. Оно заключается в том, что если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
Например,
200 делится на 2, т. к. 200 – это произведение 2 и 100.
24 тоже делится на 2, т. к. 24 – это произведение 2 и 20.
Следовательно, 224 делится на 2, т. к. это число есть сумма 200 и 24, или сумма произведений чисел 2 и 100 и 2 и 12.
Используя распределительное свойство, получим произведение числа 2 на сумму чисел 100 и 12. Или, иначе говоря, произведение числа 2 и числа 112.
224 делится на 2, т. к.
224 = 200 + 24 = 2 · 100 + 2 · 12 = 2 · (100 + 12) = 2 · 112.
Теперь возьмём число 35. Оно делится на 5. Представим его как разность 100 и 65. Т. к. 100 – это произведение 5 и 20, а 65 – это произведение 5 и 13, то получим следующее выражение:
35 = 100 – 65 = 5 · 20 – 5 · 13 = 5 · (20 – 13) = 5 · 7.
35 – это разность 100 и 65, или разность произведений чисел 5 и 25 и 5 и 13. Используя распределительное свойство, получим произведение 5 и разности чисел 20 и 13. Выполнив действие вычитания, получим результат произведения чисел 5 и 7.
Рассмотрим четвёртое свойство. Оно заключается в том, что если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.
Например,
48 делится на 2, т. к. 48 = 2 · 24.
15 не делится на 2.
Следовательно, 48 + 15 и 48 – 15 не делятся на 2.
В противном случае это противоречило бы свойству три. Итак, сегодня мы познакомились со свойствами делимости и научились применять их к выражениям.
Занимательная задача
Решим занимательную задачу, основываясь на свойствах делимости, но с большим количеством слагаемых.
В цветочном магазине имеются 33 розы, 27 хризантем и 21 лилия. Возможно ли из них составить три одинаковых букета? Если да, то сколько цветов будет в каждом букете?
Решение:
Для решения задачи составим следующее выражение:
(33 + 27 + 21) : 3
Исходя из свойства 3 (если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число), мы можем разделить как два числа, так и все три числа на 3.
33 : 3 = 11
27 : 3 = 9
21 : 3 = 7
Все числа делятся на 3, следовательно, букет с одинаковым количеством цветов собрать можно. Теперь посчитаем, сколько цветов будет в каждом букете. Для этого найдём сумму следующих чисел
11 + 9 + 7 = 27 цветов
Ответ: можно составить букеты, в каждом будет 27 цветов
Тренировочные задания.
№ 1. Какие из чисел 28; 25; 23; 22 делятся на 14?
Решение: для решения задачи достаточно найти числа, кратные числу 14. Начнём проверку кратных с числа 2, т.к. при умножении 14 на 1 кратное будет само число 14;
14 · 2 = 28 – это число есть в условии;
14 · 3= 42 – это число уже больше тех, что даны по условию задачи. Следовательно, остальные числа не будут делиться на 4.
Ответ: 28.
№ 2. Делится ли сумма (54 + 12) на 9?
Решение: исходя из свойства 3 (если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число), проведём рассуждения для этого задания:
54 делится на 9, т. к. 54 = 9 · 6
12 не делится на 9, т. к. 12 = 4 · 3 = 2 · 2 · 3
Следовательно, (54 + 12) не делится на 9.
Ответ: сумма чисел не делится на 9.