Урок 42. Уравнение sin x = a

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №42. Уравнение sin x = a.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие арксинус числа;

2) Тождества, связанные с арксинусом;

3) Решение тригонометрических уравнений;

Глоссарий по теме

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арксинус числа m обозначают: .

Заметим, что такой промежуток для α берется потому, что синус на отрезке принимает все свои значения ровно по одному разу.

Из определения следует, что для

С другой стороны, если и , то

Таким образом, получаем два простейших тождества для арксинуса.

1. для любого m:
2. для любого α: .

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 310-314.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Так как является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если , то таких точек нет, если , то такая точка одна, если , то таких точек две.

После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.

Пример.

Вычислить

Решение:

Так как и то

Ответ: .

Задание.

Вычислить .

Ответ: .

На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и

Из рисунка видно, что

Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения

Одним из решений уравнения является число . Так как , то число также является решением данного уравнения.

Точка соответствует всем числам вида

Точка соответствует всем числам вида

Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида

(*)

Пример.

Решим уравнение

Решение:

Так как , то по формуле (*) получаем:

.

Задание

Решите уравнение

Ответ: .

Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.

1. Рассмотрим решение уравнения .

Решение:

, поэтому

Отсюда , или

Тогда

Ответ: .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

, поэтому .

Отсюда получаем:

Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.

Запишем их решения.

Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:

(1) и (2)

Неравенство (1) выполняется при , так как k – целое, то .

Неравенство (2) выполняется при , так как k – целое, то .

Таким образом, получаем, что при целых значениях исходное уравнение имеет две серии решений:

При уравнение имеет два решения:

Ответ: а) при ,

б) при ,

в) нет решений при .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:

Отсюда:

Первое уравнение имеет решение при или при .

Второе уравнение имеет решение при или при .

Таким образом:

Ответ:

а) при ,

б) , при при ,

в) нет решений при .

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Уравнение равносильно совокупности уравнений:

или:

Решение первого уравнения: .

Решение второго уравнения: .

Ответ:

1. Рассмотрим решение уравнения

Решение:

Выразим синус:

Имеем две серии решений:

.

Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:

Можно записать эти две серии в виде одного равенства:

.

Ответ: .

Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде:

Пример 1.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/3) и N(2π/3).

Точка M(π/3) соответствует всем числа вида .

Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Пример 2.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: .

Этой точке соответствуют все числа вида . Поэтому решение уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 3.

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С() и К(π).

Поэтому решение уравнения можно записать так: .

Ответ: .

Задание.

Решите уравнение .

Ответ: .

2. Мы можем записать решение уравнение для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.