Урок 52. Производная и интеграл

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №52. Производная и интеграл.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• задачи, решаемые с применением производной
• задачи, решаемые с применением первообразной и интеграла

Глоссарий по теме

Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:

Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f ‘(x0)(x-x0)

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (a; b), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции. Слова «функция монотонна на данном промежутке» означают, что функция на этом промежутке возрастает или убывает.

Точка х1 называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x)<f(x1).

Точка х2 называется точкой минимума функции f, если для всех х из окрестности точки х2 выполняется неравенство f(x)>f(x2).

Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е.,   Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 7-50

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/ 

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Приведем пример:

Найти производную функции:

Решение:

Ответ: .

2. Решение задач с помощью производной.

Напомним, что геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной. Те есть значение производной в данной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в заданной точке: f'(x0)=kкас.(x0)

Задача 1.

Найдем угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции: .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

Угол пересечения графика функции оси абсцисс — это угол, под которым касательная, проведенная к графику данной функции в точке с соответствующей абсциссой, пересекает ось абсцисс.

Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому нужно найти значение производной данной функции в точках пересечения ее графика с осью абсцисс.

Найдем углы:

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Производная — это скорость материальной точки, положение которой изменяется по заданному закону.

Решим задачу 2.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

x(t) = 4+5t – 6t2 + 2t3.

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

a(t)=-12+12·3=24.

Ответ: v=23; a=24.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Задача 3.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Решение:

Рисунок 1 — Иллюстрация к задаче 3

Исследуем функцию

При

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Пример.

Покажем, что функция является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

.

Получили функцию f(x).

4. Решение задач

Задача 4.

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Решение:

Для функции первообразными является функции вида

По условию: F(1)=6

С=5,4

Ответ:

Задача 5.

Точка движется прямолинейно с ускорением

Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с2)

Так как , то v(t) — первообразная для функции a(t).

Так как , то s(t) — первообразная для функции v(t).

,

,

Ответ:

Задача 6.

Вычислите объем тела, ограниченного плоскостями x=0, x=0,5 , площадь сечения которого плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от нее на расстоянии х, меняется по закону:

Решение:

.

(куб.ед)

Задача 7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

.

Решение:

Рисунок 2 — Иллюстрация к задаче 6.

Ответ: 7,5 кв.ед.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найдите аргумент, при котором функция достигает наибольшего значения на отрезке [-3; -1].

Решение:

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

.

Полученная производная изменяет свой знак в точках 2 и -2, в точке 0 функция и производная не определены.

Так как задан отрезок [-3; -1], то рассмотрим поведение производной вокруг точки -2.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

Ответ: -2

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Решение:

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

.

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с2)

Решение.

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:

м