Урок 53. Комбинированные задачи

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №53. Комбинированные задачи.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Простейшие текстовые задачи, задачи с округлением с избытком, задачи на проценты, прикладные задачи с экономическим и физическим содержанием
• Вероятность
• Тождественные преобразования
• Уравнения, неравенства, их системы, в том числе с параметрами
• Свойства функции, исследование свойств функции с помощью производной

Глоссарий по теме урока

Определение

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. 

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Предел отношения приращения значений функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, называется производной функции в точке.

Теорема

если производная функции, дифференцируемой на промежутке, положительна, то функция возрастает на этом промежутке

Теорема

если производная функции, дифференцируемой на промежутке, отрицательна, то функция убывает на этом промежутке

Определение

Пусть n — число всех исходов опыта, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется

Теорема

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема

Вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 271-307.

Дополнительная литература:

Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. М.: Издательство «Национальное образование», 2018. 256 с. 

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177.

Открытый банк заданий ФИПИ, Математика, профильный уровень http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Разбор решения неравенства

Решить неравенство:

Решение:

Найдем область определения данного неравенства. Она определяется системой:

Область определения неравенства: .

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя:

или

x+3=1

x=-2 x=1

Корни знаменателя:

х=2

Расставим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом промежутке, выберем нужные промежутки со знаком +.

Нанесем область определения.

Запишем найденный ответ:

Ответ:

2. Разбор решения уравнения с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

Разберем аналитический способ решения уравнения.

Данное уравнение (обозначим его (1)) равносильно системе

Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная система. Это возможно в двух случаях:

1) квадратное уравнение (3) не имеет корней;

2) корни уравнения (3) не удовлетворяют условию (2).

Найдем все значения а, при которых выполним хотя бы один случай:

1) уравнение не имеет коней, если D<0:

;

2) корни уравнения меньше 1, если его больший корень меньше 1:

Объединяя множества значений а, найденные для обоих случаев, получим

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов, для начала перенесем 1 в правую часть .

Представим и приведем к общим знаменателям .

Сделаем замену

Найдем корни числителя t=9

Найдем корни знаменателя t=1, t=10

t<1, t>10, t=9

Перейдем к исходной переменной ,

Основание показательных неравенств и уравнения больше единицы, значит, x<1, x> log310, x=2.

Ответ: (−∞, 0)∪{2}∪(log310, +∞)

2. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет четыре решения?

Решение

Первое уравнение системы определяет две непересекающиеся (расстояние между центрами больше суммы радиусов) окружности с радиусами 3 и 1:

(2)

Следовательно, система будет иметь 4 решения в том и только том случае, когда прямая, определяемая вторым уравнением, имеет с каждой окружностью по 2 точки пересечения.

Выразим из второго уравнения y=ax- 4a- 2

и подставим в уравнения (2), получим квадратные уравнения:

(a2+1)x2-2(4a2+9a)x+(16a2+72a+72)=0 (3)

(a2+1)x2-2(4a2+5a+4)x+(16a2+40a+40)=0 (4)

Чтобы обеспечить 4 решения полученные квадратные уравнения должны иметь положительный дискриминант.

Для (3) и для (4)

Решения неравенств

и

Пересечение полученных множеств дает искомое множество значений параметра а .

Ответ: