Конспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 6
Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
Понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Примеры бесконечной периодической десятичной дроби.
Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби.
Тезаурус:
Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Любое положительное рациональное число
преобразуется в положительную дробь.
Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.
А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде?
Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.
Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.
Например:
5/9
Знаменатель 9 = 33
5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.
Разделим числитель 5 на знаменатель 9.
Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…,
точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.
Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Записывают 0,(5) .
Читают: « ноль целых и пять в периоде».
Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).
Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.
При этом пишут:
5/9 = 0,555… = 0,(5)
Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).
Рассмотрим ещё пример.
Рассмотрим:
4/15
Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.
Делим уголком 4 на 15.
Записывают так:
0,2(6)
читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».
(6) ‑ период дроби.
В примерах мы увидели разные периодические дроби.
Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».
Например:
0,(3)
0,(6)
0,(5)
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».
Например:
0,2(6),
0,46(76)
Сформулируем утверждение:
Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q
Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.
Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.
Например:
45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)
0,673 = 0,673000 = 0,673(0).
Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.
Тогда сформулируем:
Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.
Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.
Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q
Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.
Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5
В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.
Будем делить уголком 15 на 13.
Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:
Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.
Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.
Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство
х = 0,(7) (1)
Умножим это равенство на 10, получим
10х = 7,(7) (2).
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
10x – x = 7
9x = 7
x = 7 : 9
Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)
Разбор заданий тренировочного модуля.
Подберите обыкновенную дробь, равную периодической десятичной 0,(14).
Варианты ответов: 14/99, 14/98 14/90
Решение.
Обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство:
х = 0,(14) (1)
Умножим это равенство на 100, получим
100 х = 14,(14) (2).
Вычтем из равенства (2) равенство (1).
100x – x = 14
99x = 14
x = 14/99
Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби 769/4950
Варианты ответа:
0,15(35);
0,155(35);
0,1(535);
0,153(5).
Решение: Для решения задачи нужно выполнить деление уголком:
Ответ: 0,155(35).