Урок 82. Объём прямоугольного параллелепипеда

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок №82

Объём прямоугольного параллелепипеда

Перечень рассматриваемых вопросов:

– определение объёма прямоугольного параллелепипеда, если его стороны выражены обыкновенными дробями;

– выражение одних единиц измерения объёма через другие.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, со всех сторон ограниченный прямоугольниками, которые называются гранями.

Ребро – это отрезок, общий для двух граней параллелепипеда.

Вершина – это точка, в которой сходятся три ребра параллелепипеда.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра и грани равны.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы с вами уже знакомы с некоторыми пространственными телами: прямоугольный параллелепипед, куб, сфера, шар.

Вспомним, как выглядит прямоугольный параллелепипед, и назовём его элементы.

Снизу, сверху и с боков он ограничен прямоугольниками, которые называются гранями.

Нижняя и верхняя грань – это основания.

Грани пересекаются по отрезкам – рёбрам.

Точки, в которых пересекаются рёбра, называют вершинами.

Три ребра, которые сходятся в одной вершине, называют длиной, шириной и высотой.

Их ещё называют измерениями.

У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра и грани равны.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется, как произведение a на b и на c. При этом мы считаем, что длина, ширина и высота выражены натуральными числами и измерены в одинаковых линейных единицах.

Эта формула будет верна и при дробных a, b и c.

V = a ∙ b ∙ с

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами

а = см, b = см и c = см.

Мы видим, что в этом случае объём равен:

(см3)

Достроим прямоугольный параллелепипед до куба со стороной 1 см. Площадь куба равна одному кубическому сантиметру.

V = 1 см3

Одно ребро куба разделено на 3 равные части, другое – на 2 и третье – на 5 равных частей.

Получили, что куб разделён на 30 одинаковых частей. Значит, объём каждой будет равен см3.

Прямоугольный параллелепипед состоит из четырёх таких частей, значит его объём будет равен:

(см3)

Итак, мы доказали, что если три ребра (а, b и c)прямоугольного параллелепипеда выражены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Давайте теперь вспомним, как можно выразить одни единицы измерения объёма через другие.

1 см3 = 1000 мм3

1 дм3 = 1000 см3

1 м3 = 1000 дм3

1 км3 = 1 000 000 000 м3

Для измерения объёмов жидкостей и сыпучих веществ используют литры

1 л = 1 дм3

Меры объёма на Руси

На Руси использовали свои меры объёма

Ведро = бочки = 10 кружек = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров

Кадь (кадка, какова) = 20 вёдер

В эпоху Киевской Руси везде употребляли кадь и ее доли.

В быту и торговле использовали различные хозяйственные сосуды: котлы, корчаги, ендовы, жбаны, братины.

При этом значение таких мер было различным в разных местах. Например, ёмкость котлов колебалась от полуведра до 20 вёдер.

В XVII в. была введена система кубических единиц, определяющая 7-футовую сажень, а также введён термин кубический (или «кубичный»).

Самые распространённые современные меры объёмов это:

1 литр = 1 дм3

1 миллилитр = 1 см3

Тренировочные задания

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно внимательно посмотреть на изображения. На верхнем рисунке мы видим многогранник, у которого все измерения равны. Значит, делаем вывод, что это куб. На нижнем изображении представлен многогранник, со всех сторон ограниченный прямоугольниками. Следовательно, это прямоугольный параллелепипед

№ 2. Вычислите объём куба, если его ребро равно м.

Чтобы решить это задание, необходимо вспомнить формулу для нахождения объёма куба: V = a3.

Правильный ответ: м3.