Урок 84. Итоговое обобщение и систематизация знаний по темам «Делимость натуральных чисел»

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 84

Итоговое обобщение и систематизация знаний по темам «Делимость натуральных чисел»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делимость натуральных чисел;

– свойства делимости;

– признаки делимости;

– понятия простых и составных чисел.

Тезаурус

Чётное число – это число, делящееся на 2.

Нечётное число – это число, не делящееся на 2.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

Составное число – это непростое натуральное число больше единицы.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На протяжении нескольких уроков мы изучали понятия, связанные с делимостью натуральных чисел. Сегодня мы обобщим и закрепим изученное.

Как нам уже известно, натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается число а, т. е.:

а = с b

Вспомним свойства делимости:

1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
2.  Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.
3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Теперь вспомним признаки делимости:

1. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
2. Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.
3. Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
4. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
5. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Нам известно, что число, делящееся на 2, называют чётным. Число, не делящееся на 2, называют нечётным.

Вспомним понятия простых и составных чисел.

Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя:

р : 1 = р

р : р = 1

Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя. Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными. Каждое составное число делится на 1, само на себя и еще хотя бы на одно натуральное число. Вот все составные числа меньше 20: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Принято считать, что единица не является ни простым, ни составным числом. Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

Простых чисел бесконечно много, есть первое число – 2, но нет последнего простого числа.

Теперь вспомним о делителях натурального числа.

Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

Разложить данное составное число на простые множители – значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают: НОД(а, b).

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на а и b. Это число обозначают: НОК(а, b).

Рассмотрим, как можно использовать понятие чётности при решении задач.

Задача.

Имеется 17 спичек. Из них некоторые ломают на 3 части несколько раз. Можно ли после нескольких таких действий получить 80 частей спичек?

Решение.

Нам неизвестно, сколько спичек ломали, поэтому перебор всех вариантов трудоёмок.

Если одну спичку разломить на 3 части, получим, что спичек станет на 2 больше, значит, разламывая спички, мы увеличиваем их число на чётное количество.

Изначально было 17 спичек – это нечётное число. Прибавляя к нечётному чётное, невозможно получить чётное, так как сумма чётного и нечётного всегда нечётная. А 80 это чётное число. Значит, ответ: нельзя.

Задача.

Решим задачу.

Земельный участок имеет форму прямоугольника, длина которого 36 м, а ширина 30 м. Участок нужно разделить на квадратные участки. Какие наибольшие квадратные участки можно получить и сколько таких участков?

Решение.

Сначала, найдём, какие должны быть размеры квадратных участков.

Для этого найдём наибольший общий делитель:

НОД(36; 30) = 6 м – размеры квадрата.

Найдём площадь прямоугольного участка.

36 · 30 = 1080 (м2) – площадь прямоугольника.

Теперь, найдём площадь квадрата.

62 = 36 м2 – площадь квадрата.

Найдём число квадратов в прямоугольном участке.

1080 : 36 = 30 – число квадратов

Ответ: 30 квадратов со стороной 6 м.

Итак, на уроке обобщили и систематизировали знания по теме «Делимость натуральных чисел»; вспомнили понятия, связанные с делимостью натуральных чисел.

Тренировочные задания

№ 1. Выберите числа, кратные 9. Выделите цветом правильный ответ.

Варианты ответов: 236; 276; 754; 891; 612; 873.

По признаку делимости на 9 имеем, что число делится на девять, если делится сумма цифр.

236 = 2 + 3 + 6 = 11– не делится на 9

276 = 2 + 7 + 6 = 15 – не делится на 9

754 = 7 + 5 + 4 = 16 – не делится на 9

891 = 8 + 9 + 1 = 18 – делится на 9

612 = 6 + 1 + 2 = 9 – делится на 9

873 = 8 + 7 + 3 = 18 – делится на 9

Правильный ответ: 891; 612; 873.

№ 2. В ставьте в текст нужные слова.

Два ___ натуральных числа всегда взаимно простые.

Так как два последовательных натуральных числа всегда одно чётное, другое нечётное, то они не будут одновременно делиться и на 2 оба, и на 3, и на 5, и на 9. Тогда они не будут иметь общих делителей, а значит, будут взаимно простыми.

Правильный ответ: последовательных.