Урок 51. Система математических понятий, фактов и методов курса алгебры и начал анализа 10 класса

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 51. Система математических понятий, фактов и методов курса алгебры и начал анализа 10 класса.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• С какими основными понятиями вы познакомились в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
• Какие основные типы уравнений и неравенств рассматриваются в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
• Какие функции рассматриваются в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
• Какие свойства функций рассматриваются «Алгебра и начала анализа» 10 класса.

Глоссарий по теме

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, то есть дробь вида или —, где – целое неотрицательное число, а каждая из букв — это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Степень с действительным показателем.

Если n — натуральное число и m — целое число, то при a>0 справедливо равенство . Если то, равенство верно и при a=0, причем .

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. При этом используется запись .

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Значение переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти множество его корней или доказать, что их нет. Это множество называют также решением уравнения.

Множество всех x, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения уравнения. Для того, чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на которых определены данные функции f(x) и g(x) .

Два уравнения называются равносильными, если каждый корень (решение) одного уравнения является корнем (решением) другого и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений) на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.

Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.

Областью определения неравенства является пересечение множеств, на которых определена каждая из функций входящих в неравенство.

Решение неравенств основано на их свойствах.

• Еcли к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) одну и туже функцию область определения которой принадлежит области определения данного неравенства, то получится неравенство равносильное данному.
• Любое слагаемое, можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный.
• Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию g(x), определенную на области определения на определения заданного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при получится неравенство , равносильное данному, а при равносильным данному является неравенство .

Функция. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. При этом используют запись

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от x.

Значение, y соответствующее заданному значению x называют значением функции и обозначают .

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции (D(f)); все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции (E(f)). Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению x из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению x из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

Значения x из области определения функции при которых f(x)=0, называют корнями (или нулями) функции.

Показательная функция. Функция, заданная формулой , где a — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной. Показательная функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Множество значений — множество всех положительных действительных чисел.
3. Функция возрастает при a>1, функция убывает при 0<a<1.
4. При x = 0 значение функции равно 1.

Графики показательной функции:

Логарифмическая функция. Функция, заданная формулой , где a — некоторое положительное число, не равное единице, называется логарифмической. Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения – множество всех положительных действительных чисел.
2. Множество значений — множество всех действительных чисел.
3. Функция возрастает при a>1, функция убывает при 0<a<1.
4. Нули функции x = 1.

Графики логарифмической функции:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдите область определения функции

Учитывая, что выражение, стоящее под знаком корня четной степени, может принимать только неотрицательные значения, а знаменатель дроби не может быть равным нулю, получим систему:

Данная система совокупности систем:

или

Решим первую систему.

Решение первого неравенства

Решение второго неравенства

Решением первой системы является промежуток (- 5; 1)

Решим вторую систему. x = — 5, x = 5

Решением неравенства будет:

Пример 2.

1. Сравните числа

Так как показатели степеней одинаковые, то необходимо сравнить основания степеней. Сравнивать эти иррациональные числа напрямую неудобно, поэтому постараемся найти число «посредника».

Попробуем сравнить основания степеней с числом 2.

Таким образом,

Так как показатель степени отрицателен, то