Урок 6. Обратные тригонометрические функции

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №6. Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
• Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
• Объяснять расположение промежутков монотонности;
• Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
• Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  и множество значений  .

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения   и множество значений  

Арктангенс ( y = arctg x )  – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений  .

Арккотангенс ( y = arcctg x )  – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен  ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Рис.1 График функции y=arcsin х

Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ).

Рис.2 График функции y=arccos х

Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.

Арктангенс ( y = arctg x )  – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).

Арккотангенс ( y = arcctg x )  – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ).

Рис.3 График функции y=arctgx

Рис.4 График функции y=arcсtgx

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Найдите значение выражения

Обозначим , по определения арктангенса получаем х=60°, т.е. нам нужно найти

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство

;

;

;

;

Накладываем ограничения по свойствам арксинуса:

;

Ответ: