Урок 8. Иррациональные числа. Понятие действительного числа. Сравнение действительных чисел

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 8

Иррациональные числа. Понятие действительного числа.

Сравнение действительных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Иррациональные числа.
• Понятие действительного числа.
• Абсолютная величина (модуль) числа.
• Сравнение действительных чисел.

Тезаурус:

Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.

Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…

После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.

Её называют иррациональным (нерациональным) числом.

Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примеры иррациональных чисел:

0,010010001…

-17,1234567…

Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…

Понятие действительного числа:

Рациональные и иррациональные числа называют действительными.

Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Если дробь периодическая – число рациональное.

Если дробь непериодическая – число иррациональное.

Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.

Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:

α0,α1 α2 α3… αn…, причем хотя бы одна из цифр отлична от нуля.

Противоположные числа

Противоположные числа отличаются только знаками:

α0, α1, α2, α3,… αn…, и — α0,α1, α2, α3,… αn…,

Обозначают: а, если а положительное число,

-а, если а отрицательное число.

Абсолютная величина числа (модуль) числа

Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:

• само число а, если а – положительное
• 0, если а = 0
• число -а, если а – отрицательное число.

Обозначается: а, если а > 0,

|а| = 0, если а = 0,

-а, если а < 0.

Примеры:

а = 0,10110111… |а| = 0,10110111…

b = -2,1234567…… |b| = 2,1234567…

c = 0,(0) |c| = 0

Сравнение действительных чисел.

Правило 1.

Два действительных числа равны, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые и дробные части.

Правило 2.

Отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.

Число 0 меньше любого положительного числа.

Правило 3.

Если целые части положительных чисел разные, то больше то, у которого целая часть больше.

Если целые части положительных чисел одинаковые, то больше то, у которого цифра в наименьшем разряде дробной части больше.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Сравнение чисел обозначают с помощью знаков: > = <

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Изобразите числовые множества с помощью кругов Эйлера.

Определите, какому множеству принадлежат числа: 2,(3) и 2,1234?

Решение:

Число 2,(3) принадлежит множествам рациональных и действительных чисел.

Число 2,1234 принадлежит множествам иррациональных и действительных чисел.

Задача 2.

Сравните числа:

1. 0,(27) > 0,2727, т. к. 0,(27) = 0,272727…
2. -3,(5) < -3,(4), т. к. абсолютная величина первого числа меньше.
3. 8,273273 > 8,(27), т. к. 8,273 и 8,272, первая отличная цифра в третьем разряде больше.