Урок 12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

Пример 1.

x3 – 3x – 2 = 0.

Решение: I способ

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

(х + 1)( х2 –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

х1 = –1 х2,3 = ;

х2,3 = ;

х2 = –1, х3 = 2

Ответ: –1; 2.

II способ

x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0;

(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х2 –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х1 = –1, х2 = 2

Ответ: –1; 2.

1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
   1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

y1 и y2.

Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

1. Ввести новую переменную у=х2
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример 2.

х4 – 8х2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у1 = –1; у2 = 9;

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

Ответ: х1 = –3; х2 = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

Пример 3.

х3 + 2×2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: –1.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

• разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
• группировкой привести полученное уравнение к виду 

• ввести новую переменную , тогда выполнено
  , то есть ; 

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 4

2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Решение: Разделим на x2, получим:

Введем замену:
Пусть

тогда 2t2 – 3t – 27 = 0

Ответ: .