Урок 13. Дробно-линейная функция и её график

Конспект

Функция обратной пропорциональности

Графиком этой функции является гипербола.

Областью определения данной функции является всё множество чисел отличных от нуля.

Возьмём функцию , х > 0, k = 2

Обратим внимание, что при неограниченном возрастании положительных значений аргумента, сами значения функции убывают и стремятся к нулю.

Такая же ситуация происходит при неограниченном уменьшении аргумента функции, значения функции возрастают и стремятся к нулю.

При x > 0 и x → +∞, то y → 0; при x < 0 и x → –∞, то y → 0.

Обратим внимание на график.

При возрастании положительных значений аргумента x (x → +∞), значения функции y остаются положительными, но убывают и стремятся к нулю. График неограниченно приближается к оси x.

В этом случае говорят, что ось x является асимптотой графика функции.

Для функции при k > 0 ось абсцисс является асимптотой функции.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой приближаются бесконечно близко точки графика функции по мере их удаления в бесконечность.

Гипербола имеет еще одну асимптоту – ось ординат.

Ось ординат является асимптотой функции при k > 0.

Функция при k < 0 также будет иметь две асимптоты в виде осей х и y.

Дробно-линейная функция

Функция, в правой части которой представлена дробь с числителем в виде многочлена первой степени или числа отличного от нуля, а знаменатель является многочленом первой степени, называется дробно-линейной функцией.

Пример функции: .

Общий вид дробно-линейной функции

, где

х – переменная; a, b, c, d – произвольные числа.

Важно! с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

Пояснение ограничений.

• с = 0

. Получили линейную функцию.

• ad – bc ≠ 0

Рассмотрим на примере функции . 3 • 4 – 6 • 2 = 0.

 – константа (число).

Правила параллельного переноса графиков функций

График функции y = f(x) + n → y = f(x), при n > 0 – вверх по оси y, n < 0 – вниз по оси y.

График функции y = f(x – m) → y = f(x – m), при m > 0 – вправо по оси x, m < 0 – влево по оси x.

График гиперболы можно переносить вдоль осей по схожему принципу.

Рассмотрим пример №1..

Произведём преобразования, приведём функцию к виду

.

.

Данный вид соответствует тому к которому надо было привести функцию: k = 9, m = 1, n = 3.

График, полученной нами функции можно получить с помощью двух параллельных переносов в соответствии со значениями m = 1 по оси x вправо и n = 3 по оси y вверх графика функции .

Функция . Т. к. это гипербола, т. е. имеет две ветви, то составим две таблицы значений.

Построим красным пунктиром асимптоты к нашей целевой функции, так как они тоже сдвинутся на значения m и n.

Т. е., выделив из дроби целую часть, мы нашли асимптоты будущего графика.

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

Рассмотрим пример №2.

Построить график функции .

Найдём асимптоты будущего графика функции.

.

k = 5; m = –1; n = –4.

Асимптоты будущего графика функции нужно сместить на 1 единицу влево по оси x и на 4 единицы вниз по оси y.

Определена «родительская» функция .

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

Выводы.

• Любую дробно-линейную функцию вида можно представить в виде .
• Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно построить из гиперболы функции с помощью двух параллельных переносов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.