Урок 14. Занимательные задачи. Задачи на перебор всех возможных вариантов

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 14

Занимательные задачи. Задачи на перебор всех

возможных вариантов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение задач на перебор всех возможных вариантов.
• Построение схем для решения задач.
• Вероятность наступления события.

Тезаурус

Вероятностью события A называется отношение количества благоприятствующих событию A исходов к числу всех равновозможных исходов испытания, один из которых обязательно произойдёт.

Основная литература

1. Никольский С.М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П.В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П.В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Задачи на перебор всех возможных вариантов.

Задача 1.

Запишите все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры 4, 7 и 9. Рассмотрите два случая: без повторений и с повторениями цифр.

Решение. Первый случай – без повторений.

Чтобы не путаться, будем записывать числа в порядке возрастания:

479; 497 – первый ряд

749; 794 – второй ряд

947; 974 – третий ряд

Итого: 6 трёхзначных чисел.

Решение. Второй случай – с повторениями.

Снова будем записывать числа в порядке возрастания:

444; 447; 449; 474; 477; 479; 494; 497; 499 – первый ряд

744; 747; 749; 774; 777; 779; 794; 797; 799 – второй ряд

944; 947; 949; 974; 977; 979; 994; 997; 999 – третий ряд

Итого: 27 трёхзначных чисел.

Проверим первый случай без повторения:

479; 497

749; 794

947; 974

В разряде сотен может быть любая из 3 цифр.

В десятках может быть одна из двух оставшихся цифр.

Разряд единиц занимается одной не использованной цифрой.

Трёхзначное число:

1-я цифра __ 2-я цифра _______ 3-я цифра ____

4 7 или 9 9/7

7 4 или 9 9/4

9 4 или 7 7/4

3 · 2 · 1 = 6 – возможных вариантов.

Ответ: из цифр 4, 7 и 9 без повторений можно составить 6 трёхзначных чисел.

Проверим второй случай с повторениями:

444; 447; 449; 474; 477; 479; 494; 497; 499

744; 747; 749; 774; 777; 779; 794; 797; 799

944; 947; 949; 974; 977; 979; 994; 997; 999

В разряде сотен может быть любая из 3 цифр.

В десятках снова может быть любая из 3 цифр.

В единицах опять может быть любая из 3 цифр.

Трёхзначное число:

1-я __ 2-я цифра ____________ 3-я цифра ____________

4 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9

7 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9

9 4 или 7 или 9 4 или 7 или 9

3 · 3 · 3 = 27 – возможных вариантов.

Ответ: из цифр 4, 7 и 9 с повторениями можно составить 27 трёхзначных чисел.

Задача 2.

На окружности отмечены шесть точек: А, В, С, D, E и F. Каждую точку соединили с каждой. Сколько всего отрезков получится?

Посчитаем отрезки на рисунке – их 15. Но при большем числе точек такой подсчёт может привести к ошибке.

Из точки А проведём 5 отрезков: АВ, АС, АD, АE и АF.

Из точки В проведём также 5 отрезков, но один из них АВ уже проведён, значит, из В выходит только 4 новых отрезка.

Из С – 3 новых отрезка.

Из D – 2 новых отрезка.

Из Е – 1 новый отрезок.

Из F – выходит 5 отрезков, но мы их все уже начертили.

Итого имеем:

5 + 4 + 3 + 2 + 1+ 0 = 15 (отрезков)

Можно увидеть на чертеже, что из каждой точки выходит по пять отрезков. Имеем шесть точек, по пять отрезков из каждой. Чтобы получить верный ответ, надо произведение шести и пяти разделить на два, так как между двумя точками отрезок из точки и отрезок к точке – это один и тот же отрезок.

Вероятность события.

Рассмотрим монету.

Если бросить её на стол, обязательно произойдёт одно из двух событий:

Так как считается, что монета обычная, она правильной формы и сделана из однородного металла, то события A и B в нашем примере равновозможные.

Событие «монета встала на ребро» считается невозможным и не учитывается.

Таким образом, мы имеем два возможных исхода или два случая, один из которых (выпадение орла) благоприятствует событию A, а другой (выпадение решки) благоприятствует событию B.

Сформулируем определение.

Вероятностью события A называется отношение количества благоприятствующих событию A исходов к числу всех равновозможных исходов испытания, один из которых обязательно произойдёт.

Рассмотрим игральный кубик.

Давайте условимся, что это обычный игральный кубик, у него нет специальных утяжелителей внутри, и при многократном бросании никакое число не выпадает чаще других.

Если бросить кубик на стол, то возможны 6 исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Эти случаи равновозможные, и один из них обязательно произойдёт.

Пусть событие C заключается в выпадении чётного числа очков.

Пусть событие D заключается в выпадении числа очков, кратного числу 3.

Получается, что событию C благоприятствуют 3 возможных исхода: выпадение 2, 4 и 6 очков.

Событию D благоприятствуют 2 возможных исхода: выпадение 3 и 6 очков.

Вероятность наступления события C больше вероятности наступления события D.

Задача 3.

Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 2, 4, 5 и 7?

Решение.

Так как в задаче не говорится о повторении цифр, то будем рассматривать 2 случая: с повторениями и без повторений.

1 случай:

24, 25, 27.

42, 45, 47.

52, 54, 57.

72, 74, 75.

Так как начинаться число может на любую из 4 цифр, а на втором месте может быть одна из 3 цифр, то имеем:

4 · 3 = 12 чисел.

2 случай:

На первом месте может стоять любая из 4 цифр, на втором месте может стоять любая из 4 цифр, так как цифры в числе могут повторяться. Имеем:

4 · 4 = 16 чисел.

Ответ: 12 чисел без повторений, 16 чисел с повторениями.

Задача 4.

Двух мальчиков и девочку надо рассадить за круглый обеденный стол с четырьмя стульями так, чтобы мальчики не оказались рядом. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

Одного из двух мальчиков можно посадить на любой из четырёх стульев, а второго – напротив (чтобы они не оказались рядом). Тогда в каждом из этих четырёх случаев девочку можно посадить только двумя способами. Итого 4∙2=8 – способов посадить детей в соответствии с условиями задачи.

Ответ: всего 8 способов.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Сколько диагоналей d будет в многоугольнике, имеющем n сторон, если:

Варианты ответов: 9, 20, 35, 40, 50.

Тип 2. Единичный выбор.

Ученица начертила многоугольник и провела 21 диагональ. Ей осталось провести меньше половины диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Варианты ответов: 10, 14, 16, 20.

Решение.

Как видно из предыдущей задачи – шестиугольник имеет 9 диагоналей, восьмиугольник – 20, десятиугольник – 35.

Если девочка провела 21 диагональ, и это больше половины, значит, будет десятиугольник – у которого 35 диагоналей, и 21 диагональ – больше половины.

Значит, 35 – 21 = 14 диагоналей – осталось провести.

Ответ: 14.