Урок 15. Комбинации многогранников и круглых тел

Конспект урока

Геометрия, 11 класса

Урок №15. Комбинации многогранников и круглых тел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Различные комбинации многогранников
• Различные комбинации многогранников и круглых тел
• Решение задач на нахождение объемов и площадей разных фигур

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Говорят, что цилиндр вписан в шар (сферу), если каждое его основание лежит на сфере данного шара. Любой цилиндр может быть вписан в шар.

Так как основания цилиндра имеют равный радиус, то расстояние от центра до их плоскостей одинаково, а значит, в силу их параллельности, центр находится в середине высоты цилиндра.

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.

Призма называется вписанной в шар (сферу), если все ее вершины лежат на поверхности шара.

Говорят, что шар вписан в призму, если он касается всех ее граней.

Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар.

Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найти отношение радиусов   правильная треугольная призмы, сторона основания которой равна 6, к шару, вписанного в нее.

Решение:

Начнем с вписанного шара. Его радиус совпадает с радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Этот радиус равен , то есть . Но тогда высота призмы равна .

Далее, центр описанного шара находится в середине высоты, то есть расстояние от него до плоскости основания равно . Пусть центр этого шара , центр основания – . Тогда  (как радиус описанной окружности, например). И значит,  по теореме Пифагора.

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: .

№2.Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус и площадь сферы.

Решение:

Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Тогда длина его ребра равна 6.

Радиус сферы равен половине длины ребра, значит равен 3.

По формуле для площади сферы , получим

S=36п

Ответ: 3, 36п

№3 Найдите во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади поверхности шара, шар вписан в цилиндр?

Решение

Радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра – диаметру шара.

Площадь поверхности шара равна .

Площадь полной поверхности цилиндра есть  ().

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: 1,5.