Урок 16. Рациональные числа

Конспект

Все натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) образуют множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел обозначается N.

При добавлении к натуральным числам противоположных им –1, –2, –3, –4, –5 и так далее, а также 0 образуется множество целых чисел.
Множество целых чисел обозначается Z.

Добавим к множеству целых чисел дробные числа – как положительные, так и отрицательные и так далее, получим множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначается Q.

Рассмотрим число 3.
3 ∈ N: 3 принадлежит множеству натуральных чисел.
3 ∈ Z: 3 принадлежит множеству целых чисел.
3 ∈ Q: 3 принадлежит множеству рациональных чисел.

∈ – знак принадлежности к множеству.

Противоположное ему число: –3.
–3 ∉ N: –3 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Каждое натуральное число входит и в множество целых чисел. Это значит, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел. Множество N – подмножество Z.

Множество B является подмножеством C, если каждый элемент множества B, также принадлежит множеству C.

Множество Z является подмножеством Q, т. е. множество Z – подмножество Q. Z ⊂ Q.

Множество дробных чисел, которое принадлежит Q, но не принадлежит Z, является разностью множеств Q и Z.

Разностью множеств B и C называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих B, но не принадлежащих C.

Разность множеств B и C показана штриховкой.

Разностью множеств Z и N будет множество, состоящее из отрицательных целых чисел и нуля.

Разность множеств Z и N показана штриховкой.

Разностью множества, состоящего из чисел 1, 3, 5 и 7, и множества, состоящего из чисел 1 и 3, будет множество, элементы которого – числа 5 и 7.

Любое рациональное число (и целое, и дробное) можно представить в виде обыкновенной дроби , где m – целое число, а n – натуральное.

Рассмотрим примеры.

Представим число в виде десятичной дроби, разделив числитель 3 на знаменатель 8. Проведя деление в столбик, получим:

Представим теперь число в виде десятичной дроби, разделив числитель 1 на знаменатель 9 в столбик. В остатке всегда остаётся 1, и деление будет продолжаться бесконечно.

 – бесконечная десятичная дробь.
 – периодическая дробь. Период дроби равен 1.

Дробь обращается в бесконечную десятичную дробь. Такие бесконечные дроби называют периодическими, а повторяющиеся цифры – периодом дроби. Цифры периода пишут один раз и заключают в скобки.

Вообще, каждое дробное число можно представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной.

Приведём несколько примеров.

Конечную десятичную дробь, и любое целое число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, если приписать справа бесконечное количество нулей.

Приведём несколько примеров.

Вывод: любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное.
Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет какое-то рациональное число.

Приведём несколько примеров.

Разные бесконечные дроби представляют разные рациональные числа.

Исключение:
0,(9) = 1,(0) = 1,0000… = 1
3,2(9) = 3,3(0) = 3,30000… = 3,3 и так далее.

Дроби с периодом 9 принято заменять на дроби с периодом 0 и таким образом получая конечную десятичную дробь или целое число.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.