Урок 17. Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №17. Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие векторного и координатного метода.

Решение стереометрических задач векторным и координатным методом.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с. ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Векторный и координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними)

• Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра;
• Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой;
• Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра (расстояние от любой точки прямой до указанной плоскости);
• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра (расстояние между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью);
• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых, образованных при пересечении прямых ( 0º < < 90º);
• Углом между двумя скрещивающимися прямыми, называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся;
• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º;
• Угол между двумя параллельными прямыми считается равным нулю;
• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол межу этой прямой и ее проекцией на данную плоскость ( 0º < < 90º);
• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90º;
• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0º;
• Двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярно его ребру, величина двугранного угла принадлежит промежутку ( 0º ;180º);
• Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку ;
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным нулю.
• Ax+By+Cz+D=0 — уравнение плоскости, где вектор нормали данной плоскости ;
• A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )+D=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M(, ;
• — длина вектора ;
• длина вектора или длина отрезка AB ,если A
• — уравнение плоскости M(;
• = — каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(, и направляющим вектором прямой l ;
• x= x0+a1t, y=y0+a2t, z=z0=a3t – параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M( параллельно вектору

• – скалярное произведение векторов ;
• (условие перпендикулярности двух векторов);
• — угол между векторами ;
• — угол между плоскостями , и — векторы, перпендикулярные данным плоскостям;
• угол между прямыми в пространстве есть острый угол между направляющими векторами данных прямых (прямая однозначно задается точкой и направляющим вектором данной прямой);
• угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и проекцией прямой на плоскость. Для нахождения этого угла используется угол между направляющим вектором прямой и вектором нормали ( перпендикулярным ) плоскости ;

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Решение.

Введем векторы: 

Тройку  некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы  по векторам этого базиса. Имеем:

Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы  коллинеарны, поэтому существует такое число х, что  Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что 

По правилу ломаной находим:

По условию MН  A1C, значит, существует такое число t, что  то есть выполняется равенство:

Вследствие некомпланарности векторов  и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1 – х – t = 0, t – у = 0, х – у – t = 0. Решением этой системы уравнений является:  Тогда  значит, МН : СА1 = 1 : 3.

Ответ: 1 : 3.

№2 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB= 16 ,а высота равна 4. На ребрах AB ,CD ,AS отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = DN = 4,AK = 3.Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

Решение:

Во введенной прямоугольной системе координат центр основания пирамиды совпадает с началом координат О( 0;0;0) вершины имеют координаты:

S( 0 ;0 ;4),A(0; — 8 0), B(8 ;0 ;0 ) ,C(0 ;8 ;0)и D( 0 ;- 8 ;0) .

Определим координаты точки K По условию AK= 3 , то точка K делит отрезок AS в отношении:

— координаты точки K, где координаты концов отрезка AS AK: KS= 3: 9=1: 3 ( SOA по теореме Пифагора SA =

Таким образом, = 0 ; z==1⇒ K(0 1).

Составим уравнение плоскости , причем воспользуемся другим способом задания уравнения плоскости, отличным от предыдущего. Так как плоскость проходит через точки S ( 0 ;0 ;4), B(8 ;0 ;0 )и C(0 ;8 ;0) то подставив координаты точек в общее уравнение плоскости Ax+By + Cz + D = 0, получим систему из трех уравнений:

⟺⟺

⟺

=0- уравнение плоскости (SBC),вектор нормали к плоскости.

Расстояние от точки K до плоскости : ==.

Ответ : .

№3 В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, найдите

(φ- угол между диагональю ВА1 грани АА1В1В и плоскостью ВС1D, А1М- расстояние от вершины А1 до плоскости ВС1D)

1. V=?
2. А1М=?
3. φ= ?

Решение:

1. Объем куба равен кубу его стороны, значит

2)Пусть отрезок A1М — перпендикуляр из вершины А1 на (ВС1D), М(ВС1D) (рис. 4). Тогда A1М = ρ(А1; (ВС1D)). Найдем длину отрезка A1М.

По правилу треугольника имеем: 

Обозначим:  а в плоскости ВС1D введем базис  где  и запишем разложение вектора  по векторам этого базиса в виде: Тогда 

Так как A1М(ВС1D), то A1МВС1, A1МВD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), значит, 

Коэффициенты х и у в разложении  вектора  найдем, пользуясь условием: 

которое равносильно системе уравнений

Прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:

Так как треугольники ВС1D, A1ВС1, A1ВDv— правильные и равные, то длины их сторон равны  а 

Тогда:

          (**)

          (***)

Вернемся к решению системы уравнений (*).

Учитывая соотношения (**) и (***) и свойства скалярного произведения векторов, получаем:

Тогда  и

Таким образом, 

3)Обозначим (ВА1; (ВС1D)) = φ. Так как А1М  (ВС1D), то ВМ — ортогональная проекция ВС1 на (ВС1D)

значит, (ВА1; (ВС1D)) = (ВА1; ВМ)= = А1ВМ = φ.

Используя соотношения (**) и (***) и то, что вектор при  имеет вид  находим:

Ответ: 

1)

2)А1М=4√3

3) φ= arccos√(3/3)