Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Поделиться:
Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что  а≥0, тогда Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Для нашего случая получим

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства или Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Примеры:

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Ответ: х=4

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

  1. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства
  2. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства
  3. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства
  4. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства
  5. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства
  6. Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решим уравнение: Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства, а у первоначального уравнения только один корень х=4.

№1.

Подчеркните корни данного уравнения

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

  1. 0; 1
  2. -1;0;1
  3. -1;0

Решим данное уравнение.

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Верный ответ: 2

  1. 0; 1
  2. -1;0;1
  3. -1;0

Пример 2.

Решите уравнение: Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

1 способ:

Рассмотрим область определения функций:

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

х-5=2х-3

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

2 способ:

х-5=2х-3

х=-2

Проверка:

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Урок 20. Иррациональные уравнения и неравенства

Значит, х=-2- посторонний корень

Ответ: решений нет