Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие иррационального уравнения;
2) понятие иррационального неравенства;
3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;
4) методы решения иррациональных неравенств.
Глоссарий по теме
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Рассмотрим виды иррациональных уравнений
В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.
Из него следует, что а≥0, тогда
Для нашего случая получим
или
Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.
По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:
Примеры:
Ответ: х=4
следовательно, решений нет
Ответ: решений нет
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Решим уравнение:
Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:
, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.
№1.
Подчеркните корни данного уравнения
- 0; 1
- -1;0;1
- -1;0
Решим данное уравнение.
Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1
Верный ответ: 2
- 0; 1
- -1;0;1
- -1;0
Пример 2.
Решите уравнение:
1 способ:
Рассмотрим область определения функций:
х-5=2х-3
х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.
Ответ: решений нет.
2 способ:
х-5=2х-3
х=-2
Проверка:
Значит, х=-2- посторонний корень
Ответ: решений нет