Урок 22. Показательные уравнения. Системы показательных уравненийКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №22. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- простейшие показательные уравнения;
- решение показательных уравнений: замена переменной, разложение на множители;
- однородные показательные уравнения;
- графический метод решения показательных уравнений;
- системы показательных уравнений и их решение.
Глоссарий по теме
Уравнения вида 
, 
называются простейшими показательными уравнениями.
Теорема — основа метода замены переменной
Уравнение 
равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
.
Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:
Здесь f и g функции вида: 
, 
коэффициенты.
Основная и дополнительная:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216—220, 223-230.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.
Открытые электронные ресурсы:
https://ege.sdamgia.ru/ — решу ЕГЭ образовательный портал
http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов
http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Рассмотрим показательные уравнения.
Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.
Уравнения вида 
, 
называются простейшими показательными уравнениями.
В самом простом случае уравнение принимает вид: 
.
Так как множество значений показательной функции 
— множество положительных чисел, то при 
уравнение решений не имеет.
Теперь рассмотрим случай b>0.
Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0<a<1 показательная функция монотонно убывает и также принимает все положительные значения, каждое ровно один раз.
Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения 
, a>1.
Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения 
, 0<a<1.
Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение 
, нужно число b представить в виде степени числа a.
Рассмотрим пример: 
.
Представим 
в виде степени числа 13: 
.
Теперь перепишем данное уравнение в виде: 
, поэтому x=2/5.
Ответ: x=2/5.
2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных уравнений.
2.1. Рассмотрим уравнение вида:
.
То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами 
и показатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми 
.
Для решения таких уравнений левую часть преобразуют следующим образом: выносят за скобку степень 
(часто, чтобы избежать дробных коэффициентов, выносят степень с наименьшим показателем):
Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.
Поэтому выразим 
и решим простейшее показательное уравнение.
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Преобразуем левую часть и вынесем за скобку 
:
x-1=0
x=1
Ответ: x=1.
2.2. Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается с помощью вынесения за скобку общего множителя.
.
Решение:
Преобразуем уравнение: перенесем степени с одинаковыми основаниями в одну часть:
,
Вынесем за скобку множители с одинаковыми показателями:
, 
.
Теперь преобразуем полученное уравнение к виду: 
. Для этого разделим обе части уравнения на 
и на 3:
.
x-0,5=1
x=1,5.
Ответ: x=1,5.
2.3. Еще один вид показательных уравнений – уравнения, сводящиеся к квадратным:
.
В этом случае вводят новую переменную: 
. Получим вспомогательное уравнение: 
.
После решения этого уравнения получим простейшие показательные уравнения.
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Введем новую переменную: 
.
Запишем вспомогательное уравнение: 
.
. Вернемся к переменной х:
, 
.
Ответ: 
2.4. Еще один вид уравнений, который сведется к решению квадратного или уравнения третей степени, это однородное уравнение.
Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:
Здесь f и g функции вида: 
, 
коэффициенты.
Однородные показательные уравнения решаются делением на 
или на 
и последующей заменой: 
.
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Заметим, что 
, 
, 
. То есть уравнение можно записать в виде:
.
Разделим уравнение на 
, получим уравнение: 
. Теперь введем новую переменную: 
и получим вспомогательное уравнение:
, решим его:
.
, 
.
Ответ: 
.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Решите уравнение: 
Решение: Запишем уравнение в виде:
Таким образом, уравнение является однородным относительно функций: 
и 
.
Разделим уравнение на 
и получим:
.
Введем новую переменную: 
.
Вспомогательное уравнение:
Вернемся к исходной переменной:
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Решите систему: 
Решение: Введем новые переменные: 
.
Рассмотрим вспомогательную систему:
.
Возведем второе уравнение в квадрат:
. Решим полученную систему относительно 
и 
.
или 
.
Так как 
, то есть положительные, то
или 
.
Вернемся к исходным переменным.
или 
.
Отсюда:
или 
.
Ответ: (1/6; 1/4); (1/4; 1/6)