Урок 22. Произведение многочленов

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 22

Произведение многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Произведение многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Разложение многочленов на множители.

Тезаурус:

Многочлен – сумма одночленов.

Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых это число, не равное нулю.

Произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Это мы научились выполнять на предыдущем занятии.

Сегодня мы будем находить произведение многочленов.

Для начала выясним, что такое произведение многочленов.

Оказывается, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена другого многочлена. Т. е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выглядит произведение многочленов а + с и многочлена х + у.

Найдите произведение многочленов а + с и х + у.

Решение:

Видно, что произведение двух многочленов не зависит от того, какой из многочленов будем мы умножать.

Если поменяем полученные равенства местами, то получим разложение многочлена на множители.

ах + ау + сх +су = (а + с)(х + у)

Введём определение разложения многочлена на множители.

Разложением многочлена на множители называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.

Оказывается, любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых — это число, не равное нулю.

Пример. Разложите многочлен на множители

Для этого возьмём любое число, не равное нулю, например, пять, вынесем его за скобки. Получается разложение на множители, один из которых имеет нулевую степень (это число пять), а другой – ту же степень, что и исходный многочлен (степень многочлена один).

Стоит отметить, что, если при умножении многочленов, один из них не представлен (или записан) в нестандартном виде, то его сначала можно привести к стандартному виду, а затем выполнить вычисления. В противном случае вычисления могут быть более сложными.

Пример.

Найдём двумя способами произведение многочленов (2а – 4с + а)( х + 3у +х).

Первый способ: сначала приведём к стандартному виду тот многочлен, который записан не в стандартном виде, и затем выполним умножение.

Второй способ: будем выполнять умножение сразу, а затем приводить полученный многочлен к стандартному виду.

Запись первым способом короче, но результат вычислений одинаковый.

Выполним ещё одно задание.

Найдём произведение многочленов.

Данное выражение будет равно нулю.

Следовательно, произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Докажем равенство.

Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.

Для этого на рисунке выделим 6 прямоугольников (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами у и с, третий – со сторонами а и k, четвёртый – со сторонами а и х, пятый – со сторонами у и k, шестой – со сторонами у и х).

Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, можно найти площадь каждого из шести прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, как произведение двух его смежных сторон (а + у) и (с + k + х).

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Упростите выражение.

Варианты ответов:

Это верное выражение.

Ответ: 3у.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение многочленов, раскрывать скобки, выполнять разложение многочленов на множители.