Урок 23. Квадратный корень из степени

Тема: Квадратный корень из степени

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Теорема. Для любых x верно равенство:

√(x2) = |x|

Докажем теорему.

x ≥ 0

По определению арифметического квадратного корня: для x ≥ 0

√(x2) = x.
x<0, значит –x>0 тогда
√(x2) = √((-x)2) = —x

По определению модуля:

|x| = x при x ≥ 0
|x| = —x при x<0,
Значит для x<0

Для любых х выполняется равенство

√((-x)2) = |x|.

Пример 1.
Упростим выражение √(b8)

√(b8) = √((b4)2)

Пусть x = b4, тогда √((b4)2) = √((x)2) = |x| по теореме,
то есть √((b4)2) = |b4|.
Так как b4 ≥ 0 для любых b, то √((b4)2) = b4.
Пример 2.
Упростить выражение √(a14) при a<0

√(a14) = √((a7)2) = |a7|

При a<0

|a7|<0, значит √((a7)2) = |a7| = —a7

Пример 3.
Вычислим без помощи калькулятора √5 625

√(5 625) = √(54 • 32) = √((52)2 • 32) = √((52)2) • √(32) = √((52)2) • 3 = |52| • 3 = 52 • 3 = 25 • 3 = 75

Пример 4.
Упростим выражение √5 + √((√5-5)2)
√5 + √((√5-5)2) = √5 + |√5 — 5|
√5 ≈ 2,2, значит √5-5<0, значит по определению модуля получим:
|√5 — 5| = 5 — √5
Тогда:
√5 + √((√5-5)2) = √5 + |√5 — 5| = √5 + 5 — √5 = 5.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.