Урок 24. Графический способ решения систем уравнений

Конспект

Вспомним основные понятия.

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Вспомним основные виды графиков.

y = kx + b, где k и b – некоторые числа

y = ax2 + bx + c, где a, b и c – некоторые числа, a ≠ 0

, где a, b, c и d – некоторые числа, с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

(y – a)2 + (x – b)2 = c, где a, b и c – некоторые числа

, где n – некоторое чётное число

, где n – некоторое нечётное число

y = xn, где n – некоторое чётное число

y = xn, где n – некоторое нечётное число

y = |x|

Решим несколько задач.

Задача 1

Решите графическим способом систему уравнений

Решение

Приведём уравнения к виду, удобному для построения графиков.

Сначала первое уравнение:
x2 + y2 = 5 + 2x + 4y;
x2 – 2x + 1 – 1 + y2 – 4y + 4 – 4 = 5;
(x – 1)2 + (y – 2)2 – 5 = 5;
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 10.

Теперь второе уравнение:
2x = y – 5;
y = 2x + 5.

Теперь построим графики уравнений на одной координатной плоскости.

Используя чертёж найдем координаты точек пересечения графиков. Получим две точки: А(0; 5) и B(–2; 1).

Подставим найденные значения переменных, чтобы убедиться, что мы нашли точные, а не приближённые решения системы.

Ответ: (0; 5); (–2; 1).

Задача 2

Определите, сколько решений может иметь система уравнений в зависимости от значений b

Решение

Графиком первого уравнения системы является парабола с вершиной в точке (0; –3).

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом b.

Построим в одной системе координат график первого уравнения и возможные варианты графика второго уравнения, начиная с маленького радиуса окружности и постепенно его увеличивая.

Таким образом, в зависимости от значения b система может не иметь решений, может имеет 2, 3 или 4 решения.

Ответ: 0, 2, 3 или 4 решения.