Урок 24. Логарифмы. Свойства логарифмовКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 24. Логарифм. Свойства логарифмов.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1. Определение логарифма.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Свойства логарифмов.
Глоссарий по теме
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
, 
называется показатель степени, в которую надо возвести 
чтобы получить 
.
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Основное логарифмическое тождество: 
Свойства логарифмов. При 
, 
справедливы равенства:
— логарифм произведения: 
;
— логарифм частного: 
;
— логарифм степени: 
.
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
Открытые электронные ресурсы:
http://fipi.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение 
имеет корень 5, т. к. 
значит 
, 
В уравнении 
число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.
Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.
Дадим определение логарифма.
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
, 
называется показатель степени, в которую надо возвести 
чтобы получить 
.
Т. е. логарифм числа 
по основанию 
, 
есть некоторое число 
такое, что 
.
Пример 1.
, т. к. выполнены все условия определения:
1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) 
.
Пример 2.
, т. к. выполнены все условия определения:
1) 
; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) 
.
Это действие называется логарифмированием.
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Существует краткая запись определения логарифма: 
так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.
Пример 3.
(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)
Пример 4.
(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)
Решим несколько задач с использованием определения логарифма.
Задача 1. Вычислить 
.
Решение. Пусть 
тогда по определению логарифма 
Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 33, 81 = 34, значит 
. Отсюда следует, что 
Задача 2. Вычислить 
.
Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) 
, 2) 
и основным логарифмическим тождеством: 
.
.
Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.
1. Логарифм произведения.
Логарифм произведения чисел 
по основанию 
равен сумме логарифма 
по основанию 
и логарифма
по основанию 
.
Пример 5.
2. Логарифм частного.
Логарифм частного чисел 
по основанию 
равен разности логарифма 
по основанию 
и логарифма
по основанию 
.
Пример 6.
3. Логарифм степени.
Логарифм числа 
по основанию 
равен произведению показателя 
и логарифма 
по основанию 
.
Пример 7.
Важно! Свойства выполняются при 
, 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Вычислите: 
.
Решение:
Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:
;
.
;
.Представим 
в виде степени с рациональным показателем: 
. Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: 
. Вспоминаем таблицу квадратов: 
, значит 
, 
. Ответ: 
.
№ 2. Вычислите
Решение:
Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:
;
;
;
.
;
;
;
.
.
