Урок 26. Логарифмическая функция

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 26. Логарифмическая функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмической функции

2) Свойства логарифмической функции

3) График логарифмической функции

Глоссарий по теме

Логарифмическая функция. Функция вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел.

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция.

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если 0 < a < 1.

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В математике и других науках достаточно часто встречаются функции, содержащие логарифм.

Функцию вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1 называют логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел. . Это следует из определения логарифма (т. к. логарифм существует только положительного числа!)

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция. (Следует напрямую из 2 свойства.)

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если .

Докажем возрастание по определению возрастающей функции, если , то .

Пусть .

По основному логарифмическому тождеству cследовательно . По свойству степеней с одинаковым основанием, большим 1 имеем: . Т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция возрастающая. Аналогично доказывается убывание функции при основании .

Из этого свойства следуют два важных утверждения:

Если a > 0 и

Если 0 < a < 1 и

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график располагается правее оси Оу, обязательно проходит через точку (1; 0) и имеет вид: если основание больше 1 (график №1) и если основание больше нуля, но меньше 1 (график №2).

Отметим, если

Докажем это утверждение.

Предположим, что , например, . Тогда если основание , в силу возрастания функции . Противоречие с условием задачи. Если , тогда функция убывающая и . Тоже противоречие с условием задачи, что . Следовательно, .

Это свойство применяется при решении уравнений.

Задача 1.

Решить уравнение:

Слева и справа логарифмы по одинаковым основаниям, значит при условии, что (иначе логарифмы не существуют) приравниваем выражения под логарифмами:

Ответ: .

Особенности графиков логарифмической функции с разными основаниями.

Построим в одной системе координат графики функций ;

Видно, что чем больше основание, тем ближе к осям координат расположен график. Обратите внимание: все графики проходят через точку (1; 0).

В другой системе координат построим графики функций с основаниями от 0 до

Видно, что в этом случае график приближается к осям координат при уменьшении основания. Но все так же есть общая точка (1; 0).

1. Если функция возрастающая (a > 1), при увеличении основания график приближается к осям координат.

2. Если функция убывающая , при уменьшении основания график приближается к осям координат.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найдите область определения функции:

Решение.

Для функции область определения все положительные числа, т. е.

В данной функции под логарифмом выражение, которое также должно быть больше нуля.

.

Ответ:

№2 Найдите наибольшее значение функции на данном промежутке

Решение:

Рассмотрим функцию . Это убывающая функция, т.к. основание меньше 1. Если функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит наибольшее значение функции будет при , а наименьшее – при .

.

Ответ: 2.