Урок 27. Логарифмические уравнения

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 27. Логарифмические уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие простейшего логарифмического уравнения

2) Основные способы решения логарифмический уравнений

3) Общие методы в решении логарифмических уравнений

Глоссарий по теме

Простейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.

Основные способы решения логарифмических уравнений

1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что

2. .

Общие методы для решения логарифмических уравнений

1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной.
3. Графический метод.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.

Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .

Способы решения логарифмических уравнений:

1. Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,

Пример 1.

.

Воспользуемся определением логарифма

;

.

Оба корня удовлетворяют неравенству

Ответ: – 8; 1.

1. Если

Если ,

Пример 2.

.

;

;

;

;

Ответ: 1.

Пример 3.

.

В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.

Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:

.

Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.

Ответ: 3; 4.

Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.

1. Разложение на множители.

Пример 4.

Перенесем все в левую часть:

Можно увидеть общий множитель: .

Для этого приведем к основанию первый логарифм:

.

Вынесем за скобку общий множитель:

Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)

, два простейших логарифмических уравнения.

;

Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: 3; 5.

1. Введение новой переменной.

Пример 5.

Замена: тогда

Обратная замена:

Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: ; 5.

1. Графический способ решения.

Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Решите уравнение:

Решение.

Дважды используем определение логарифма:

Ответ: 6.

№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции

.

Возможные варианты ответа:

Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.

Приведем логарифмы к основанию 5: .

Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .

Ответ: 4