Урок 28. Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0. Формула корней квадратного уравнения

Конспект

Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена.

Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Рассмотрим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0.

Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения:

Второй коэффициент представим в виде произведения:

Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение к разности и, чтобы ничего не изменилось, вычтем его же:

Преобразуем уравнение в квадрат двучлена:

Перенеся слагаемые таким образом, чтобы в левой части был квадрат разности, а справа от знака равенства находилось свободное число, получим:

Извлечение корня из квадрата приводит к двум линейным уравнениям:
или .

В итоге получим x = 1 или x = 0,2.

Алгоритм решение квадратного уравнения в общем виде

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Деление на первый коэффициент квадратного трёхчлена – получение приведённого квадратного уравнения:

Получение уравнения вида – квадрат многочлена слева, свободное число справа:

Приведение к общему знаменателю:

Число корней этого уравнения зависит от знака правой части.

4a2 > 0, значит, знак дроби зависит от знака выражения b2 – 4ac.

D = b2 – 4ac.

D – дискриминант.

Возможны три случая.

1. D = b2 – 4ac < 0.
Значит и уравнение не имеет действительных корней.

2. D = b2 – 4ac = 0.
Уравнение принимает вид , очевидно, что . Т. е. квадратное уравнение имеет один корень.

3. D = b2 – 4ac > 0.
или .
Получим два корня:
или .

Формула корней квадратного уравнения

, где D = b2 – 4ac.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение необходимо найти его дискриминант. Если он будет отрицательным, то сделать вывод, что корней нет. Если дискриминант окажется положительным или равным нулю, то корни можно будет найти, используя формулу корней квадратного уравнения.

Решим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0.

D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 • 5 • 1 = 36 – 20 = 16 > 0.
Значит, уравнение имеет два корня.

Т. е. x1 = 0,2; x2 = 1.

Отдельно выделяют квадратные уравнения, у которых второй коэффициент является чётным числом.

D1 = k2 – ac
1. D1 = k2 – ac < 0. Нет корней.
2. D1 = k2 – ac ≥ 0. Корни уравнения: .

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.