Урок 30. Свойство серединного перпендикуляра

Конспект
Рассмотрим отрезок АВ, найдем его середину, обозначим её точкой М. Через точку М проведём перпендикуляр к отрезку AВ.

a — серединный перпендикуляр к AB
Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Свойство серединного перпендикуляра
Теорема: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Дано: отрезок AB, M – середина отрезка, a – серединный перпендикуляр, K ∈ a
Доказать: KA = KB
Доказательство:
Пусть точка K совпадает с точкой M.

Тогда утверждение теоремы доказано, так как M – середина отрезка.
KA = KB, т.к. M – середина отрезка AB.
Пусть K и M различные точки.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AКМ и ВКМ.
Доказательство:
KM – общий катет; AM = BM, так как М – середина. Тогда ∆AKM = ∆BKM, значит KA = KB.
Что и требовалось доказать.
Теорема: Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Дано: отрезок AB, O – середина AB, a – серединный перпендикуляр к AB, AM = BM.
Доказать: M ∈ a.
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда точка М – середина отрезка AВ. M – середина AB, тогда M ∈ a.
Рассмотрим случай, когда точка M не лежит на отрезке AB, но AM равно BM.

Получится треугольник AМВ – равнобедренный и отрезок МO является в нем медианой. По свойству равнобедренного треугольника отрезок МO является также и высотой: MO ⊥ AB. Значит, прямые МO и a совпадают и точка М принадлежит серединному перпендикуляру к АВ. MO = a, M ∈ a.
Что и требовалось доказать.
Теорема: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть прямые m и n являются серединными перпендикулярами к сторонам AВ и АС треугольника AВС и пересекаются в точке O.

По доказанной теореме OB = OA, OA = OC (m и n – серединные перпендикуляры).
Следовательно, OB = OC. Тогда точка O ∈ p/ (p – серединный перпендикуляр к BC).
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.