Урок 37. Формулы приведения

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №37. Формулы приведения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы приведения;
• мнемоническое правило для формул приведения;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
• доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
• решение уравнения с использованием формул приведения.

Глоссарий по теме

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Пример: Вычислить и.

Представим число .

Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол . Значит, , .

А так как , то ,

Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол

Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности

Справедливы равенства:

, где , , где

Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В1 при повороте на угол и в точку В при повороте на угол (рис. 2).

Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности

Запишем в виде: . На единичной окружности точки В1 и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.

Поэтому , а .

А так как , то , .

Помним, что , тогда , .

Докажем, что для всех углов справедливы формулы:

, .

Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:, подставим известные значения в формулу, получаем:

.

(1)

(2)

Аналогично доказываются формулы:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса.

Пример: вычислите . Представим , тогда .

Выведем формулы для тангенса, используя его определение

,

Найдём

Получаем формулы для тангенса и котангенса:

, где и , где (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Пример: вычислите .

Преобразуем выражение в скобке

.

Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

В остальных формулах, где в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.

Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.

Для этого придумали мнемоническое правило.

1. Если в левой части присутствуют и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

Если в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.

1. Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии .

Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа и , . (рис. 3)

Рисунок 3 – «правило лошади»

Если аргумент содержал или , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если , кивала вдоль оси Ох – «не менять».

Так же помните: чётные числа вида и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные и т. д. слева от нуля.

Если в выражении перед стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой стрелке, если стоит минус, то против часовой стрелке.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1: упростите выражение .

находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)

Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности

Значит =.

Пример 2: вычислите

Преобразуем выражение в скобке: . находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.