Урок 38. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №38. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1)Сумма и разность синусов и косинусов;

2)Формулы вспомогательного аргумента;

3)Тригонометрические выражения на основе использования формул суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов, формулы вспомогательного аргумента

Глоссарий по теме

Формула суммы синусов: .

Формула разности синусов: .

Формула суммы косинусов: .

Формула разности косинусов: .

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение . С помощью формул синуса суммы и разности преобразуем его.

Обозначим ; . Сложим и вычтем эти равенства:

Подставим в формулу суммы синусов и разности вместо получившиеся выражения , а вместо ; .

Получаем: формулу суммы синусов. (1)

Пример: Упростите выражение . Применяем формулу (1):

.

Так как , то из формулы суммы синусов получим формулу разности синусов, заменив У на .

(2)

Пример. Упростите выражение . Применяем формулу (2):

.

Аналогично доказывается формула суммы и разности косинусов:

(3)

(4)

Пример. Представьте в виде произведения:.

Применяем формулу (3):

.

Пример. Запишите в виде произведения выражение .

Так как , то .

Пример. Решите уравнение:

;

;

;

;

; ;

Ответ: ; + .

Пример. Представьте в виде произведения выражение .

В формулах (1)-(4) складываются одноимённые величины. В нашем случае нужно косинус заменить на синус с помощью формулы приведения .

.

Пример. Представьте в виде произведения выражение

Используя определения тангенса, получаем:

в числителе записана формула синуса суммы справа налево, значит

. По этой формуле можно находить сумму тангенсов.

Пример. Найти +.

Используем доказанное выше равенство: +.

Для решения некоторых задач, например при изучении колебаний, необходимо преобразовывать в произведение сумму такого вида: .

Рассмотрим выражение: , если умножить и разделить на 2, то его значение не изменится и примет вид: , заменим коэффициенты, учитывая, что , а , и получим , в скобках формула синуса суммы, т.е. .

После преобразований получили .

Выражение вида (в данном случае А=1, ) представили в виде , где С=2, . Можно проверить, что , действительно += =1+3=4==. Это не случайно. Если выражение разделить и умножить на С, то получим , причём

Значит, пара чисел удовлетворяет уравнению окружности

с центром в начале координат и радиусом 1. А это значит, что точка с координатами

лежит на единичной окружности. Т.е. её абсцисса это косинус, , а ордината- синус, .

Получаем: , где . называют вспомогательным аргументом. А равенство:

(5) формулой вспомогательного аргумента:

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите уравнение:

Для решения применим формулы (3) и (1).

разделив на 2, получим:

;

;

делим на 15; делим на 10;

;

Ответ: ; .

Пример 2. Представить в виде произведения выражение

Используем формулу вспомогательного аргумента:

Здесь А=12, В=-5, , тогда .

– вспомогательный аргумент, для которого выполняются равенства

, .