Урок 38. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусовКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №38. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1)Сумма и разность синусов и косинусов;
2)Формулы вспомогательного аргумента;
3)Тригонометрические выражения на основе использования формул суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов, формулы вспомогательного аргумента
Глоссарий по теме
Формула суммы синусов: 
.
Формула разности синусов: 
.
Формула суммы косинусов: 
.
Формула разности косинусов: 
.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим выражение 
. С помощью формул синуса суммы и разности преобразуем его.
Обозначим 
; 
. Сложим и вычтем эти равенства:
Подставим в формулу суммы синусов и разности вместо 
получившиеся выражения , а вместо 
; 
.
Получаем: 
формулу суммы синусов. (1)
Пример: Упростите выражение 
. Применяем формулу (1):
.
Так как 
, то из формулы суммы синусов получим формулу разности синусов, заменив У на 
.
(2)
Пример. Упростите выражение 
. Применяем формулу (2):
.
Аналогично доказывается формула суммы и разности косинусов:
(3)
(4)
Пример. Представьте в виде произведения:
.
Применяем формулу (3):
.
Пример. Запишите в виде произведения выражение 
.
Так как 
, то 
.
Пример. Решите уравнение:
;
;
;
; 
; 
;
Ответ: 
; 
+ 
.
Пример. Представьте в виде произведения выражение 
.
В формулах (1)-(4) складываются одноимённые величины. В нашем случае нужно косинус заменить на синус с помощью формулы приведения 
.
.
Пример. Представьте в виде произведения выражение 
Используя определения тангенса, получаем: 
в числителе записана формула синуса суммы справа налево, значит
. По этой формуле можно находить сумму тангенсов.
Пример. Найти 
+
.
Используем доказанное выше равенство: 
+
.
Для решения некоторых задач, например при изучении колебаний, необходимо преобразовывать в произведение сумму такого вида: 
.
Рассмотрим выражение: 
, если умножить и разделить на 2, то его значение не изменится и примет вид: 
, заменим коэффициенты, учитывая, что 
, а 
, и получим 
, в скобках формула синуса суммы, т.е. 
.
После преобразований получили 
.
Выражение вида 
(в данном случае А=1, 
) представили в виде 
, где С=2, 
. Можно проверить, что 
, действительно 
+
= 
=1+3=4=
=
. Это не случайно. Если выражение 
разделить и умножить на С, то получим 
, причём 
Значит, пара чисел 
удовлетворяет уравнению окружности 
с центром в начале координат и радиусом 1. А это значит, что точка с координатами
лежит на единичной окружности. Т.е. её абсцисса это косинус, 
, а ордината- синус, 
.
Получаем: 
, где 
. 
называют вспомогательным аргументом. А равенство:
(5) формулой вспомогательного аргумента:
Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите уравнение:
Для решения применим формулы (3) и (1).
разделив на 2, получим:
;
;
делим на 15; 
делим на 10;
; 
Ответ: 
; 
.
Пример 2. Представить в виде произведения выражение 
Используем формулу вспомогательного аргумента: 
Здесь А=12, В=-5, 
, тогда 
.
– вспомогательный аргумент, для которого выполняются равенства
, 
.