Урок 39. Произведение синусов и косинусов

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №39. Произведение синусов и косинусов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы произведения синусов и косинусов;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе формул произведения синусов и косинусов.
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул произведения синусов и косинусов;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул произведения синусов и косинусов;
• вывод формул произведения синусов и косинусов.

Глоссарий по теме

Формула произведения синуса и косинуса:

Формула произведения косинусов:

Формула произведения синусов:

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы знаем, что для решения задач формулы используются как слева направо, так и справа налево.

Учитывая этот факт, выведем формулу произведения синуса и косинуса. По формуле синуса суммы и разности получаем:

Значит, (1)

По формуле косинуса суммы и разности получаем:

, применив формулу справа налево, получим

формулу произведения косинусов:

(2)

Так же поступим с формулой разности косинусов:

(3)

Вывели формулу произведения синусов.

С помощью формул (1), (2), (3) можно произведение синусов и косинусов преобразовывать в сумму.

Пример. Преобразовать в произведение выражения:

а) ;

б);

в).

а) используем формулу (1) и получим:

;

б) используем формулу (3) и получим:

,

учитывая, что , а по формуле приведения , наше выражение примет вид: ;

в) используем формулу (2) и получаем:

,

Раскрываем скобки косинуса, упрощаем и получаем выражение, записанное в виде суммы

.

Пример. Известно, что Найти .

По формуле (2) получаем:

.

Учитывая, что и применяя формулу двойного аргумента

, подставим , находим . Подставим найденные значения в выражение:

.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Найти наименьшее значение выражения .

Используем формулу (1):

=

сократим выражение в скобках синуса и получим ,

учтём, что , тогда выражение примет вид: .

Наименьшее значения синуса это -1. Значит наименьшее значение выражения

подставим его в исходное выражение:

.

Ответ: .

Пример 2. Вычислите tg20tg40tg60tg80.

Используем определение тангенса tg= , учитываем, что tg60=, получаем

tg20tg40tg60tg80= , применяя формулу приведения, заменим =, и применяя формулу синуса двойного угла, заменим

,, получаем выражение: , сокращаем числитель и знаменатель на одинаковые значения и получаем: ,

Применяем формулу произведения для второго и третьего множителя и получаем:

= мы учли, что =.

Раскроем скобки: и опять воспользуемся формулой произведения косинусов, получаем: =

=+===3.

Ответ:3.