Урок 40. Повторительно-обобщающий урок по теме «Геометрическая прогрессия»

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Вспомним также формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии с отличным от единицы знаменателем.
Доказательство утверждений методом математической индукции основано на принципе математической индукции, который гласит: утверждение верно при некотором натуральном n, если выполняются два условия:
1) утверждение верно при n = 1
2) из того, что утверждение верно для n = k следует, что оно верно для n = k + 1.
Доказательство методом математической индукции состоит из двух шагов:
Шаг первый. Доказываем, что утверждение верно при n = 1.
Шаг второй. Предполагаем, что утверждение верно для n = k. Исходя из этого предположения, доказываем, что утверждение верно для n = k + 1.