Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Поделиться:
Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №40. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие модуля комплексного числа;

2) понятие тригонометрической формы комплексного числа;

3) перевод комплексного числа в тригонометрическую форму.

Глоссарий по теме

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа в зависимости от а и b.

1. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

2. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

3. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

5. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

6. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

7. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

8. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., Учебник комплект под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017. 

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Комплексные числа имеют три формы, две из них мы уже изучили — алгебраическую и геометрическую.

Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме.

Например: при работе трансформатора идет нагрев обмоток — активное сопротивление R, катушка выделяет электромагнитные волны — реактивное сопротивление. Сняли замеры трансформатора

2 + 7 i ,

где 2 Ом — активное сопротивление,

7 Ом — реактивное сопротивление

Тригонометрическая форма комплексного числа r(cos φ+sin φ).

На любом трансформаторе стоит маркировка cos φ=. Это энергетический показатель ГОС стандартов. Он показывает эффективность работы, КПД, cos φ- активный показатель мощности, тока, напряжения. sin φ- реактивный показатель.

Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+bi  можно записать в тригонометрической форме: z=|z|∙(cosφ+isinφ), где |z| – это модуль комплексного числа, а φ – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число z=a+bi  . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что a>0, b>0 :

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа. Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: φ или arg z.

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа в зависимости от а и b.

1. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

2. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

3. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

5. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

6. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

7. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

8. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример Представим в тригонометрической форме число z= -2+4i. Найдем его модуль и аргумент.

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Поскольку a<0, b>0, то   Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа– вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа— число z в тригонометрической форме.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Представить в тригонометрической форме число z= -1+2i.

  1. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа
  2. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа
  3. Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Найдем его модуль и аргумент.

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Поскольку a<0, b>0, то Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа– вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа— число z в тригонометрической форме.

Значит, верный ответ 1

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите куб суммы z= (3+4i)3=_____________

Решение:

Возведем данное выражение в третью степень

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Упрощаем полученное выражение, учитывая, что i2=-1

Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа

Ответ: Урок 40. Тригонометрическая форма комплексного числа