Урок 42. Перестановки

Конспект

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Количество перестановок из n элементов обозначают так: Pn.

Чтобы вычислить количество перестановок нужно воспользоваться формулой:
Pn = 1 • 2 • 3 • … • (n – 1) • n.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается так: n!

Принято считать, что 0! = 1.

Итак, формулу для вычисления количества перестановок можно записать следующим образом:
Pn = n!

Запомните, при перестановках количество элементов остается неизменным, но важен порядок их следования.

Рассмотрим пример перестановок.

Пусть есть 3 шара: красный, синий и зелёный.
Рассмотрим все варианты, которыми можно расставить их на полке.

Мы видим все возможные перестановки трёх шаров.

Рассчитаем их количество через формулу Pn.

P3 = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Решим несколько задач.

Задача 1
Четыре друга пришли делать прививки. Сколько возможно вариантов очерёдности похода к медсестре?

Решение
Поскольку друзья могут идти к медсестре в любом порядке, то число возможных вариантов равно количеству перестановок четырёх друзей. Рассчитаем количество по формуле Pn.

P4 = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.

Значит, число возможных вариантов равняется 24.

Ответ: 24.

Задача 2
В понедельник у 9 «Б» должно быть шесть уроков: алгебра, русский язык, литература, история, биология и география. Сколько можно составить вариантов расписания при условии, что алгебра не должна быть первым уроком?

Решение
Сначала найдём количество вариантов расписания без ограничения для алгебры. Оно равно количеству перестановок шести предметов. Найдём его:
P6 = 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720.

Теперь нам надо исключить те варианты, когда алгебру поставили первым уроком. Количество таких вариантов равно числу перестановок оставшихся пяти предметов. Найдём его:
P5 = 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Значит, количество вариантов интересующего нас расписания равно следующей разности:
P6 – P5 = 720 – 120 = 600.

Ответ: 600 вариантов.

Заметьте, количество перестановок очень быстро растёт с увеличением количества элементов.

Задача 3
В одной коробке 3 шара: зелёный, красный и синий. В другой коробке 4 кубика: жёлтый, белый, чёрный и голубой. На стол расставляют кубики и шары. Сначала кубик, затем шар, затем снова кубик и шар и так далее, пока коробки не окажутся пустыми. Сколько возможно способов расстановки фигур на столе?

Решение
Сначала найдём количество возможных расстановок кубиков. Оно равно количеству перестановок этих кубиков:
P4 = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.

Теперь найдём количество возможных расстановок шаров. Оно рано количеству перестановок этих шаров:
P3 = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Поскольку для каждой расстановки кубиков может быть любая из расстановок шаров, то общее количество вариантов расстановок будет равно следующему произведению:
P4 • P3 = 24 • 6 = 144.

Ответ: 144 способа.