Урок 42. Решение систем неравенств с одной переменной

Конспект

Рассмотрим задачу.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см, а его периметр больше 8 см. Какую длину может иметь основание треугольника?

Обозначим основание треугольника через х.

Значение х должно удовлетворять нескольким условиям.

С одной стороны, периметр должен быть больше 8 см. Получаем неравенство 3 + 3 + х > 8, которое после упрощения принимает вид 6 + х > 8.

С другой стороны, должно выполняться неравенство треугольника, согласно которому каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. х < 3 + 3, что означает х < 6.

Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство 6 + х > 8, так и неравенство х < 6. Нам надо найти общее решение этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись с фигурной скобкой.

В первом неравенстве перенесём число 6 направо, и после упрощения получим систему:

Значит, х должно удовлетворять условию 2 < х < 6.

Получили, что основание треугольника больше 2 см, но меньше 6 см.

Мы нашли решение системы неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое неравенство системы.

В нашей задаче решение системы удовлетворяет двойному неравенству 2 < х < 6.

Если изобразить его на числовой прямой, то ответ можно записать в виде интервала (2; 6).

Решим систему методом последовательного упрощения неравенств:

Раскроем скобки:

Перенесём слагаемые с переменными налево, а слагаемые без переменных направо, не забывая при переносе изменять знак слагаемы:

После приведения подобных слагаемых получим:

Разделив обе части первого неравенства на –2, а обе части второго неравенства – на 7, получим:

Ответ: .

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.