Урок 43. Уравнение tg x=a

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №43. Уравнение tg x = a.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• арктангенс числа, простейшие тождества с арктангенсом
• решение уравнения для табличных значений
• решение уравнения для произвольных значений
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение уравнения вида ;
• решение уравнения вида , ;
• решение уравнения вида , ;
• вычисление значений арктангенса и арккотангенса числа.

Глоссарий по теме

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и .

Арктангенс числа m обозначают:.

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что:

Арккотангенс числа n обозначают:

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 319-322.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Решение тригонометрического уравнения tg α= m на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при |m|>1, таких точек нет, при |m|=1, такая точка одна, при |m|<1, таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой y = mx с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/3) и N(4π/3).

Рисунок 2 – Решение уравнения

Эти точки соответствуют всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(5π/6) и N(-π/6).

Рисунок 3 – Решение уравнения ctgα=

Эти точки соответствуют всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Чтобы уметь решать уравнения и для произвольных значений m и n, вводятся понятия арктангенса и арккотангенса.

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и .

Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают:

Из определения следует, что и.

Если и , то

Два простейших тождества для арктангенса.

1. для любого m
2. для любого α: .

Если и , то .

Два простейших тождества для арккотангенса.

1. для любого n
2. для любого α: .

Из рисунка видно, что .

Рисунок 4 – Связь между

Решением уравнения являются все числа вида

.

Из рисунка видно, что

Рисунок 5 – Связь между

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1.Решите уравнение.

В ответ запишите значение k, при котором х будет наименьшим положительным числом корень.

Решение:

При получаем x=-0,5

При увеличении значений k значения корня будут отрицательными. Поэтому будем рассматривать отрицательные значения k.

. Так как , то .

При уменьшении значений k значения х будут увеличиваться.

Поэтому искомое значение k равно -1.

Ответ: -1

2.Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при:

1. k=-3

Ответ: 0

1. k=0

Ответ: 2

1. k=2

Решение:

Запишем решение данного уравнения в виде:

Тогда:

Уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Второе уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Поэтому при уравнение будет иметь 2 решения, а при ни одного.

Ответ: 2