Урок 47. Преобразование выражений

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №47. Преобразование выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Преобразование рациональных выражений;
• Преобразование иррациональных выражений;
• Преобразование логарифмических выражений.

Глоссарий по теме

Алгебраическая сумма — это запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаком «+» или «-».

Одночлен – это произведение числовых и буквенных множителей, являющихся степенями с натуральными показателями.

Многочлен – это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями.

Степень с натуральным и целым показателем. Степень числа a с натуральным показателем n, большим 1, — это произведение n множителей, равных a , , где a — основание степени, n — показатель степени, – степень.

Если и n — натуральное число, то ,

если . то .

Арифметический корень. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Обозначается , где a — подкоренное выражение.

Степень с рациональным показателем. Если n — натуральное число, m — целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство

Логарифмом положительного числа в по основанию а, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить в.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Выделение полного квадрата или куба. под знаком корня. Например, необходимо упростить выражение:

Предположим, что под корнем стоит полный квадрат.

Тогда

Так как сумма квадратов не может равняться иррациональному числу, то в нашем случае сумма квадратов равна четырнадцати, а удвоенное произведение равно шесть корней из пяти.

Мы получили систему, которую можно решить методом подстановки

Решая первое уравнение как биквадратное, получим

Так как в формуле квадрат суммы переменные a и b равноправны, получаем

Аналогично

Итак, заданное выражение

Аналогично можно выделять полный куб под корнем.

1. В некоторых случаях выделить полный куб не представляется возможным, тогда можно поступить следующим образом:

Обозначим указанное выражение буквой А и получим равенство

возведем обе части равенства в куб.

Учитывая, что сумму кубических корней равна А, получим

A = 3

Таким образом, найдено значение выражения

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Упростить выражение и найти его значение при заданном значении переменной:

при

Варианты ответа: 0,2; 4; 0,4; 0,04;

Решение.

Обозначим , тогда наше выражение будет иметь вид:

Вернемся к первоначальной переменной

Вычислим при заданном значении переменной

Пример 2. Упростите и вычислите: при a = 125.

Варианты ответов: 125; 3,2; 6,4; 32; 62,5;

Решение.

Найдем значение при заданном значении переменной