Урок 48. Тригонометрические уравнения с параметрами

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №48. Тригонометрические уравнения с параметром.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Тригонометрическое уравнение с параметром;

2) Решение тригонометрического уравнения с параметром;

3) Значения параметра, при котором простейшее тригонометрическое неравенство имеет решение.

Глоссарий по теме:

Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, а это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной х.

Основная литература:

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Дополнительная литература:

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 464 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, то это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной икс.

Простейшим примером уравнения с параметром является такое: .

Если требуется решить такое уравнение, то ответ мы должны записать так:

Ответ:

1) при |a|>1 уравнение решений не имеет

2) при a=1

3) при 0<|a|<1

(или )

4) при a=0

5) при a=-1

.

В этом случае мы выделили частные случаи:

— когда на отрезке [0; 2] уравнение имеет одно решение

— когда решения повторяются через

Но можно было записать решение и в две строчки, не выделяя частные случаи:

1) при |a|>1 уравнение решений не имеет

2) при

).

2. Рассмотрим решение более сложных тригонометрических уравнений с параметрами.

Пример 1.

Решите уравнение с переменной х и параметром а:

Решение: рассмотрим это уравнение как квадратное относительно и введем новую переменную: , .

Вспомогательное уравнение

Его дискриминант:

Очевидно, что если , то есть , то вспомогательное уравнение и исходное уравнение решений не имеют.

Если , то вспомогательное уравнение имеет один корень: . Это удовлетворяет условию , поэтому при .

.

Если , то вспомогательное уравнение имеет два корня. Но для того чтобы исходное уравнение имело корни, нужно чтобы .

Так как вершина параболы находится в точке , то для того чтобы вспомогательное уравнение имело на отрезке [-1; 1] одно решение, нужно, чтобы выполнялось условие: ,

где .

, .

То есть одно решение на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при , причем это больший корень вспомогательного уравнения:

, , .

два решения на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при

.

.

Ответ:

1) при решений нет

2) при .

3) при .

4) при .

Если в этом примере требуется найти наибольшее значение параметра, при котором уравнение имеет решение, то ответ будет 3. Если требуется найти, например, наименьшее целое решение, то ответ будет 0.

Пример 2.

Решим относительно переменной x уравнение:

Решение:

Преобразуем исходное уравнение:

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно . Введем новую переменную .

Рассмотрим вспомогательное уравнение.

.

Его дискриминант:

Видно, что это уравнение имеет решение только при a=0. При остальных значениях параметра уравнение решений не имеет.

Проверим, дает ли полученное решение вспомогательного уравнения решение исходного уравнения.

Если a=0,то .

Отсюда .

Ответ: 1) при ,

2) при решений нет.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет решение

p=0

Решение:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно .

Найдем его дискриминант:

Видно, что вспомогательное уравнение всегда имеет решение.

Но , поэтому нужно выяснить, при каком значении параметра t корни уравнения попадают в отрезок [0; 1].

Так как старший коэффициент этого уравнения положителен, то для того чтобы хотя бы один корень уравнения (функции f(p)) попал в отрезок [0; 1], нужно, чтобы выполнялось одно из неравенств: .

, . Наибольшее значение 0.

Ответ: 0

2. Найдите наименьшее положительно значение параметра, при котором решением неравенства является любое действительное число.

Решение:

Неравенство всегда верно, то есть выполнено при любых значениях переменной. Значит, данное неравенство будет всегда верно, если , то есть , .

Наименьшее положительное значение параметра .

Неравенство имеет решение.

Ответ: a=3