Урок 51. Повторение по курсу

Определение
Функция – зависимость одной переменной от другой, причем для любых значений х соответствует единственное значение функции y. График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции.
Виды функций
• Линейная
• Прямая пропорциональность
• Обратная пропорциональность
• Квадратичная
• Квадратный корень
• Модуль
• Другие функции
Свойства функций
1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Монотонность
4. Четность
5. Ограниченность
6. Наибольшее, наименьшее значение
7. Точки экстремума
8. Выпуклость
9. Пересечение с осями координат
10. Промежутки знакопостоянства
Линейная функция
Формула у = kx + b, графиком является прямая линия
k>0
k<0
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Функция не является ни четной, ни нечетной
3. Возрастает если k>0, убывает если k<0
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f) = (∞; + ∞)
Прямая пропорциональность
Формула у = kx, Графиком является прямая линия
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Функция является нечетной
3. Возрастает если k>0, убывает если k<0
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f) = (∞; +∞)
Обратная пропорциональность
Формула у = k/x, х ≠ 0 Графиком является гипербола.
Если k>0, ветви гиперболы расположены в I и III координатных плоскостях
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
2. Нечётная
3. Убывает на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. yнаим, yнаиб не существует
6. Непрерывна на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
7. E(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
8. Выпукла вниз при x>0, выпукла вверх при x<0
Если k<0, то ветви гиперболы во II и IV
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
2. Нечётная
3. Возрастает на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. yнаим, yнаиб не существует
6. Непрерывна на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
7. E(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
8. Выпукла вверх при x>0, выпукла вниз при x<0
Квадратичная функция
Формула у = аx2 + bx + с, а ≠ 0
Графиком является парабола.
с – ордината пересечения с осью у
Если а>0, то ветви параболы направлены вверх
х0 = —b/2a — абсцисса вершины параболы
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Убывает на луче (-∞; —b/2a], возрастает на луче [-b/2a ; +∞)
3. Ограничена снизу, не ограничена сверху
4. yнаим = y0, yнаиб – не существует
5. Непрерывна
6. E(f) = [y0; +∞)
7. Выпукла вниз
Если а<0, то ветви параболы направлены вниз.
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Возрастает на луче (-∞; —b/2a], убывает на луче [-b/2a ; +∞)
3. Ограничена сверху, не ограничена снизу
4. yнаиб = y0, yнаим – не существует
5. Непрерывна
6. E(f) = (-∞; y0]
7. Выпукла вверх
Квадратный корень
Формула у = √х, График функции – ветвь параболы в первой четверти
Свойства функции
1. D(f) = [0; +∞)
2. Не является ни четной, ни нечетной
3. Возрастает на луче [0; +∞)
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху
5. yнаим = 0, yнаиб — не существует
6. Непрерывна
7. E(f) = [0; +∞)
8. Выпукла вверх
Модуль у = |x|
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Чётная
3. Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху
5. yнаим = 0, yнаиб — не существует
6. Непрерывна
7. E(f) = [0; +∞)
8. Функцию можно считать выпуклой вниз
Функция y = x2n+1, (n ϵ N), График функции — кубическая парабола
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Нечётная
3. Возрастает
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. yнаим, yнаиб не существует
6. Непрерывна
7. E(f) = (-∞; +∞)
8. Выпукла вверх при x<0 Выпукла вниз при x>0
Функция y = x-(2n + 1)
Графиком является гипербола
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
2. Нечётная
3. Убывает на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху
5. yнаим, yнаиб — не существует
6. Непрерывна на открытом луче (-∞; 0), и на открытом луче (0; +∞)
7. E(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)
8. Выпукла вниз при x>0, выпукла вверх при x<0
Функция y = x2n (n ϵ N), График функции – парабола
Свойства функции
1. D(f) = (-∞; +∞)
2. Чётная
3. Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху
5. yнаим = 0, yнаиб — не существует
6. Непрерывна
7. E(f) = [0; +∞)
8. Выпукла вниз
Уравнения с одной переменной
1. Линейное уравнение: ах + b = 0;
2. Квадратное уравнение: ах2 + bх + с = 0;
3. Рациональное уравнение: р(х) = 0, где р(х) – рациональное выражение;
4. Иррациональное уравнение: √p(x) = 0.
Уравнение вида ах = b, где а и b — числа, а х — неизвестное, называется линейным уравнением с одним неизвестным.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0
Коэффициент а называют старшим членом, а с свободным членом
Дискриминант можно найти по формуле
D = b2 — 4ac
D>0, то уравнение имеет два корня.
D = 0, один корень.
D<0, то корней нет.
Корни квадратного уравнения можно вычислить по формулам:
Целыми уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая часть которого – целые выражения.
Дробно-рациональное уравнение имеет смысл тогда, когда знаменатель дробей, входящих в уравнение, не равен нулю.
Дробно-рациональное уравнение можно свести к целому, если обе его части умножить на общий знаменатель.
Рациональные уравнения с двумя переменными.
Рациональное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида f(x;y) = g(x;y). Где f и g – рациональные выражения содержащие переменные х, y, числа и любые операции вычитания, деления, умножения, сложения и возведения в степень.
Два рациональных уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые решения.
Равносильными преобразованиями уравнения называют:
а) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую, со сменой знака.
б) Умножение или деление обоих частей уравнений на число не равное нулю.
Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких что они одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: p(x;y) = 0 и u(x;y) = 0, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
p(x;y) = 0
u(x;y) = 0
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим уравнениям.
Решить систему – это значит найти все ее решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.
Для решения систем уравнений используют различные методы: метод подстановки, метод сложения, замены переменой и графический метод.
Неравенство с одной переменной
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенства вот такого вида: ax + b>0, где а и b значения из множества действительных чисел (a ≠ 0).
Решением неравенства с переменной называется значение переменной, при котором данное неравенство превращается в верное числовое неравенство.
правила при решении линейных неравенств:
Члены неравенства, можно, так же как и в линейных уравнениях переносить из одно части в другую, не меняя знак неравенства.
Неравенство можно умножить и разделить на одно и тоже число большее нуля, не изменив при этом знак неравенства.
Неравенство можно умножить или разделить на отрицательное число, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный.
Знак<изменится на >, ≤ на ≥, и соответственно наоборот.
Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение p(x), зависящее от х, которое положительно при любом х, не изменив знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.
Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение p(x), зависящее от х, которое отрицательно при любом х, поменяв знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.
Система неравенств с одной переменной
Если надо найти общие решения неравенств с одной переменной, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки.
Решением системы неравенств с одной переменной есть значение переменной, которое является решением каждого из неравенств системы.
Квадратным неравенством называется неравенство, в котором в левой части стоит квадратный трехчлен ax2 + bx + c, а в правой – нуль.
Знак неравенства может стоять любой, коэффициенты а, b, c – любые числа (а ≠ 0).
Если у трехчлена отрицательный дискриминант, то если подставить любое значение х, знак трехчлена будет такой же как и знак у коэффициента а.
Квадратные неравенства можно решать строя графики или путем построения интервалов
Система неравенств с двумя переменными
Если требуется найти два числа x и y, которые удовлетворяют сразу двум неравенствам, то говорят, что надо решить систему неравенств с двумя переменными:
p(x;y)>0
u(x;y)>0
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим неравенствам.
Арифметическая прогрессия
Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.
Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.
a1 = a; an = an-1 + d
Число d – разность прогрессии.
а и d – определенные заданные числа.
Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля то последовательность убывающая..
Формула n-ого члена арифметической прогрессии.
an = a1 + (n — 1)d
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
an = (an-1 + an+1)/2
Сумма n членов алгебраической прогрессии
Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an
Sn = (2a1 + d(n — 1))/2 • n
Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.
Зададим последовательность рекуррентно:
b1 = b, bn = bn-1 • q
b и q – определенные заданные числа.
Число q называется знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если
b1>0, q>1 — то последовательность возрастающая.
b1>0, 0<q<1 — то последовательность убывающая.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
bn2 = bn-1 • bn+1
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия:
b1, b2, … bn-1, bn
Сумма ее членов:
Sn = b1 + b2 + … + bn-1 + bn
Sn = (b1(qn — 1))/(q — 1)
√a • b — называется средним геометрическим чисел a и b.
Комбинаторика это наука, в которой изучают различные комбинации элементов множества и отношения на этих множествах
Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал)
n! = 1 • 2 • … • (n — 1) • n
n факториал – состоящий из n множителей.
Важное свойство факториала:
n! = (n — 1)! • n
Общее правило решения задач на различные комбинации:
N различных предметов, можно расставить, без повторения элементов, на N различных мест ровно N! способами.
В математике принято называть это утверждение как количество перестановок из N элементов, без повторений.
Обозначают как: Pn = n!
Математическая статистика — это предмет, который занимается статистикой, используя различные методы математики.
Математическая статистика и занимается обработкой данных и преобразованием их к виду более понятному для восприятия.
Построение прогнозов, оценок, применимости различных методов, достоверность проведенных испытаний и многое другое, то чем занимается статистика.
Как обрабатывают информацию.
1) Данные измерений упорядочивают и группируют.
2) Составляют таблицы распределений данных.
3) По таблицам строят графики распределений.
4) В итоге получается некоторый паспорт измерений, в котором собранно небольшое количество числовых характеристик полученной информации.
Определение. Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась ровно к раз, то число к называют кратностью измерения.
Если сложить все кратности, то получится количество всех данных измерения – объем измерения
Вычисляют частоту варианты
Частота варианты = Кратность варианты/Объем измерения

Разность между максимальной и минимальной вариантой называют размахом измерения
Варианта, которая встречается чаще других, называется модой
Чтобы найти среднее значение нужно:
а) Просуммировать все данные измерения.
б) Полученную сумму разделить на количество вариантов
Так же можно искать среднее значение таким способом:
а) Каждую варианту умножить на ее частоту
б) Сложить получившиеся значения.
Посмотреть интерактивный материал